Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Tópico 6
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
BCT - ECT - UFRN
Objetivos
Trabalho no centro de massa
Estudar um sistema de partículas
Colisões no referencial do centro de massa
Movimento do centro de massa (c.m.)
O centro de massa se move como se toda a massa do bastão estivesse nele concentrada e
como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele.
O movimento das partes do bastão não afetam o movimento do centro de massa.
Movimento do centro de massa (c.m.)
A localização do centro de massa. Sistema discreto.
\vec R_{cm} = \frac{m_1\vec r_1+m_2\vec r_2}{m_1+m_2}
\vec r_1 = (0,5\hat i +3,5 \hat j)\text{ m}
\vec r_2 = (3,0\hat I + 1,0 \hat j)\text{ m}
m_1= 1 \text{ kg}
m_2= 2 \text{ kg}
\vec R_{cm} =(2,2\hat i + 1,8 \hat j) \text{m}
X_{cm} =\frac{\sum_i m_ix_i}{M}
Y_{cm} =\frac{\sum_i m_iy_i}{M}
Movimento do centro de massa (c.m.)
O centro de massa se move como se toda a massa do sistema estivesse nele concentrada e
como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele.
m\vec R_{cm} = \sum_i m_i\vec r_i
m\vec V_{cm} = \sum_i m_i\vec v_i
m\vec A_{cm} = \sum_i m_i\vec a_i
\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_i
\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i (\vec F_{ext}+\vec F_{int})
\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_{ext}
\Rightarrow
\frac{d\vec P{sis}}{dt}=\vec F_{ext}
\vec F_1
\vec F_2
\vec F_{12}
\vec F_{21}
Movimento do centro de massa (c.m.)
O momento linear total relativo ao centro de massa é nulo.
\vec r_1^{ \,\prime}=\vec r_1 - \vec R_{cm} = \frac{m_2}{m_1+m_2}(\vec r_1-\vec r_2)
\vec r_2^{ \,\prime}=\vec r_2 - \vec R_{cm} = \frac{m_1}{m_1+m_2}(\vec r_2-\vec r_1)
\vec r_2^{ \,\prime}=-\frac{m_1}{m_2}\vec r_1^{\,\prime}
\Rightarrow m_2\vec r_2^{ \,\prime}+{m_1}\vec r_1^{\,\prime}=0
Derivando em relação ao tempo,
m_2\vec u_2+{m_1}\vec u_1=0
\vec p_2^{\,\prime}
+
\vec p_1^{\,\prime}
=
0
\Rightarrow \vec P_{sis}^{\,\prime}
=
0
Movimento do centro de massa (c.m.)
No referencial do laboratório
\vec V_{cm} = \frac{m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}{m_1+m_2}
\Rightarrow M\vec V_{cm} = {m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}
No referencial do centro de massa
\vec u_1=\vec v_1 - \vec V_{cm}
\vec u_2=\vec v_2 - \vec V_{cm}
\Rightarrow0= {m_1\vec u_1+m_2\vec u_2}
Movimento do centro de massa (c.m.)
A dinâmica de um sistema de partículas
O momento linear de cada partícula é dada pelo produto
\vec p_i = m\vec v_i
O momento linear total do sistema de partículas é dado pela soma
\vec P_{sis} =\sum_i \vec p_i
Se a força resultante externa sobre o sistema é nula
\vec P_{sis} =constante
Se a soma das forças externas sobre um sistema permanece zero, então o momento linear total do sistema permanece constante.
O momento linear pode ser usado para descrever o movimento de uma ou mais partículas.
A conservação do momento linear
O momento total de um sistema de duas partículas isoladas é o mesmo antes e depois da colisão.
| Massas iguais. | Antes | Depois |
|---|---|---|
| Velocidades | ||
| Momentos | ||
| Total |
\vec v_1 =+ \vec v
\vec v_2 =- \vec v
\vec p_1 =+ m\vec v
\vec p_2 =+ m\vec v
\vec P_i=\vec p_1+\vec p_2 = \vec 0
\vec P´_f=\vec p´_1+\vec p´_2 = \vec 0
\vec v´_1 =+ \vec v
\vec v_2´ =- \vec v
\vec p´_1 =+ m\vec v
\vec p´_2 =+ m\vec v
| Massas iguais. | Antes | Depois |
|---|---|---|
| Velocidades | ||
| Momentos | ||
| Total |
\vec v_1 =+ \vec v
\vec v_2 =\vec 0
\vec p_1 =+ m\vec v
\vec p_2 =\vec 0
\vec P_i=\vec p_1+\vec p_2 =m \vec v
\vec P´_f=\vec p´_1+\vec p´_2 = m \vec v
\vec v´_1 = \vec 0
\vec v_2´ =- \vec v
\vec p´_1 =\vec 0
\vec p´_2 =+ m\vec v
\vec P_i = \vec P_f
Quaisquer que sejam as massas e as velocidades envolvidas,
A conservação do momento linear
\vec P_i = \vec P_f
quando as únicas forças que atuam no sistema são as interações entre as partículas (forças de contato = internas) e desprezando as forças externas ao sistema, temos:
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
O momento linear total de um sistema se conserva se as forças externas se anulam.
Para um sistema de duas partículas,
A conservação do momento linear
\vec F_1
\vec F_2
\vec F_{AB}
\vec F_{BA}
As forças de contato satisfazem a \(3^a\) lei de Newton:
As forças externas satisfazem a \(2^a\) lei de Newton:
A força resultante sobre cada partícula:
\vec F_{AB}+\vec F_{BA}=\vec 0
\vec F_{1}+\vec F_{2}=\vec F_{ext}
\vec F_{AB}+\vec F_{1}=\vec F_{res,A}
\vec F_{BA}+\vec F_{2}=\vec F_{res,B}
Para um sistema de duas partículas,
A conservação do momento linear
\vec F_1
\vec F_2
\vec F_{AB}
\vec F_{BA}
O momento linear do sistema:
A força resultante sobre o sistema:
\vec P_{sis} = \vec p_A + \vec p_B
\frac{d\vec P_{sis}}{dt} = \frac{d\vec p_A}{dt} + \frac{d\vec p_B}{dt}
\frac{d\vec P_{sis}}{dt} =\vec F_{res,A}+\vec F_{res,B}
\frac{d\vec P_{sis}}{dt} =\vec F_{AB}+\vec F_{1}+\vec F_{BA}+\vec F_{2}
\frac{d\vec P_{sis}}{dt} =+\vec F_{1}+\vec F_{2}
\frac{d\vec P_{sis}}{dt} =+\vec F_{res}
Para um sistema de duas partículas,
A conservação do momento linear
\vec F_1
\vec F_2
\vec F_{AB}
\vec F_{BA}
Não é necessário que o sistema seja isolado, isto é, que não atuem forças externas.
A condição necessária e suficiente é que a resultante das forças externas seja nula.
\frac{d\vec P_{sis}}{dt} =+\vec F_{res}
\frac{d\vec P_{sis}}{dt} =\vec 0
\vec P_{sis}=constante
Para um sistema de duas partículas,
A conservação do momento linear
\vec F_{ext}
O sistema de partículas se move como uma partícula única com momento linear do sistema,
sob ação de uma força externa,
\vec F_{res}
\frac{d\vec P_{sis}}{dt}=\vec F_{ext}
\vec P_{sis}
A equação do movimento é,
A força externa tem a direção da variação do momento linear do sistema.
Movimento do centro de massa (c.m.)
A cinemática de um sistema de partículas
O movimento de um sistema de partículas é a soma da velocidade das partículas em relação ao centro de massa mais a velocidade do próprio centro de massa.
\vec v= \vec V_{cm} + \vec V_{int}
\vec V_{cm}
\vec V_{rel}
Quando um sistema de partículas apenas translada a energia cinética é dada pela expressão:
K= K_{cm}+K_{int}
K_{cm}=\frac{1}{2}MV_{cm}^2
K_{int}=\frac{1}{2}m_iu_i^2
Movimento do centro de massa (c.m.)
A energia
A partir do teorema trabalho-energia cinética para um sistema de partículas
\Delta K = W_{ext}+W_{int}
podemos estudar os processos de colisão de partículas. Se recordarmos que
\Delta K = W_{ext}^c+
W_{ext}^{nc}+
W_{int}^c+
W_{int}^{nc}
\Delta K= \Delta K_{cm}+\Delta K_{int}
\Delta K_{cm}+\Delta K_{int}=
W_{ext}^c+
W_{ext}^{nc}+
W_{int}^c+
W_{int}^{nc}
Daí,
em que:
W^c = -\Delta U
Temos o princípio da energia:
\Delta E =
W_{ext}^{nc}+
W_{int}^{nc}
Movimento do centro de massa (c.m.)
A energia
Em uma colisão as forças externas se cancelam ou são nulas,
A velocidade do centro de massa não varia (\(F_{ext} = M A_{cm} = 0)\)
\Delta K_{cm}=0
O tempo de contato é muito pequeno as variações nas posições da partículas do sistema são desprezíveis e a energia potencial interna conservativa não varia.
W_{ext}^{c}+
W_{ext}^{nc}=0
W_{int}^{c}=0
Daí,
\Delta K_{cm}+\Delta K_{int}=
W_{ext}^c+
W_{ext}^{nc}+
W_{int}^c+
W_{int}^{nc}
\Rightarrow\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}
Movimento do centro de massa (c.m.)
A energia
Nas colisões elásticas, o trabalho das forças internas não conservativas é nulo. A energia cinética total do sistema permanece constante.
As forças externas são nulas.
\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}=0
\Rightarrow K_{int,i}=K_{int,f}
\Delta \vec P_{sis} = \vec F_{ext}\Delta = 0
\Rightarrow\vec P_{sis,i}=\vec P_{sis,f}
Movimento do centro de massa (c.m.)
A energia
Nas colisões inelásticas, o trabalho das forças internas não conservativas durante a colisão é diferente de zero.
As forças externas são nulas quando comparada as forças internas durante a colisão.
\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}\neq 0
\Rightarrow K_{int,i}\neq K_{int,f}
\Delta \vec P_{sis} = \vec F_{ext}\Delta = 0
\Rightarrow\vec P_{sis,i}=\vec P_{sis,f}
No dia-a-dia, parte da energia é sempre transferida da energia cinética para outras formas de energia, como a energia térmica e sonora.
A energia cinética não é conservada.
Movimento do centro de massa (c.m.)
A energia
Nas colisões perfeitamente inelásticas a distância relativa entre quaisquer partículas do sistema é constante, após a colisão.
Isso significa que derivando em relação ao tempo, após a colisão
\vec r_1^{ \,\prime}=\vec r_1 - \vec R_{cm}
onde \(\vec r_1^{\,\prime}\) permanece constante.
\vec v_1 - \vec V_{cm} =0
\vec V_{cm} =\vec v_1
\Delta K_{cm} = 0
Depois da colisão, a energia cinética interna final do sistema é zero.
\Delta K = W_{int}^{nc}
\Delta K = -K_{int,i}
-K_{int,i} = W_{int}^{nc}<0
Princípio da conservação da energia
As interações entre dois sistemas pode ser interpretada como uma troca de momento, mas pode ser expressa como uma troca de energia.
A análise de sistemas de partículas em termos de energia é importante não só para a física, como também para a química, a biologia e a engenharia.
Como tratar a energia de um sistema de partículas?
Podem atuar sobre as partículas tanto forças externas como internas.
O trabalho total pode ser separado como o trabalho das forças internas e das forças externas.
Princípio da conservação da energia
A variação da energia cinética de um sistema de partículas é igual ao trabalho realizado sobre o sistema pelas forças externas e internas.
\vec F
A força externa do pistão executa um trabalho externo.
As forças intermoleculares executa um trabalho interno.
O trabalho total leva a uma variação da energia cinética do sistema.
\Delta K_{sis} = W_{ext} + W_{int}
Princípio da conservação da energia
Quando as forças internas em um sistema de partículas são conservativas, existe uma energia potencial interna que depende da natureza das forças internas.
No sistema planetário e atômico as forças dependem atuam al ao longo da linha que une as duas partículas, a energia potencial interna depende apenas da distância ao centro de forças.
Nesse caso,
\Delta K_{sis} = W_{ext} -\Delta U_{int}
U=U(r_{12})
W_{int}=-\Delta U_{int}
\Delta K_{sis} +\Delta U_{int}= W_{ext}
Princípio da conservação da energia
Em um sistema de partículas, define-se a energia própria como a grandeza:
em que
\Delta E = W_{ext}
E = K_{sis} +\Delta U_{int}
K_{sis}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2++\frac{1}{2}mv_3^2\cdots
U_{int} = U_{12}+U_{13}+\cdots+U_{23}+\cdots
Portanto,
a variação da energia própria de um sistema de partículas é igual ao trabalho realizado sobre o sistema por forças externas.
Princípio da conservação da energia
Pode ocorrer do trabalho das forças externas ser nulo. Assim,
\Delta E = 0
A soma da energia cinética com a energia potencial interna, ou energia própria, \(E\), de um sistema de partículas isolado permanece constante em relação a um observador inercial.
Em um sistema isolado existe uma conversão contínua de energia cinética em potencial interna e vice-versa.
Princípio da conservação da energia
Pode ocorrer do trabalho das forças externas ser devido à forças conservativas,
W_{ext} = -\Delta U_{ext}
Nesse caso, temos a energia total do sistema sujeito à ação de forças externas conservativas:
\Delta E + \Delta U_{ext} = 0
\Delta E_{total}=0
Para o átomo de hidrogênio em um campo elétrico externo:
E_{total}=\frac{1}{2}mv_e^2+\frac{1}{m}v_p^2+k \frac{q_e q_p}{r_{12}}+\frac{1}{2}CV^2
Princípio da conservação da energia
A energia total de uma molécula diatômica sujeita ao campo gravitacional e que interage como se fosse um sistema massa mola (modelando a interação eletrostática)
A energia própria:
K_{sis}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2
\vec v_1
\vec v_2
x_{12}
U_{int}=\frac{1}{2}kx_{12}^2
U_{ext}=mgy_1+mgy_2
E=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_{12}^2
A energia total:
E_{total}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_{12}^2+mgy_1+mgy_2
y_1
y_2
- Exemplo 4: T8-55 - Um corpo de 5,0 kg com uma rapidez de 4,0 m/s, colide frontalmente com ouro corpo, de 10,0 kg, que se move de encontro a ele com 3,0 m/s. O corpo de 10,0 kg fica parado após a colisão.
(a) Qual é a rapidez do corpo de 5,0 kg após a colisão?
(b) A colisão é elástica?
- Exemplo 5: T8-59 - Um bloco de massa m1 = 2,0 kg desliza sobre uma mesa sem atrito com uma rapidez de 10 m/s. Diretamente à frente dele e se deslocando no mesmo sentido com uma rapidez de 3,0 m/s, está um bloco de massa m2 = 5,0 kg. Uma mola ideal, de constante elástica k = 1120 N/m, está presa ao segundo bloco.
(a) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema?
(b) Durante a colisão, a mola sofre uma compressão máxima D. Qual é o valor de D?
(c) Os blocos acabarão por se separar novamente. Quais são as velocidades dos dois blocos, após a separação, medidas no referencial do centro de massa?
- Exemplo 6: T8-79 - Uma bola repica até 80 por cento de sua altura original.
(a) Qual fração de sua energia mecânica é perdida a cada repicada?
(b) Qual é o coeficiente de restituição do sistema bola-chão?
- Exemplo 1: T8-32) Um bloco de madeira e um revólver estão firmemente fixos nas extremidades opostas de uma longa plataforma montada sobre um trilho de ar sem atrito. O bloco e o revólver estão separados de uma distância L. O sistema está inicialmente em repouso. O revólver dispara uma bala que o abandona com uma velocidade vb, atingindo o bloco e nele se encravando. A massa da bala é mb e a massa do sistema revólver-plataforma-bloco é mp.
- (a) Qual é a velocidade da plataforma imediatamente após a bala deixar a arma?
- Qual é velocidade da plataforma imediatamente após a bala atingir o repouso dentro do bloco?
- (b) Qual é a distância percorrida pela plataforma, enquanto a bala está em trânsito entre o revólver e o bloco?
- Exemplo 2: T8-36) A figura mostra o comportamento de um projétil justo após ele ter se partido em três pedaços. Qual era a rapidez do projétil justo antes de se partir?
- Exemplo 4: T40) Uma cunha de massa M é colocada sobre uma superfície horizontal e sem atrito, e um bloco de massa m é colocado sobre a cunha, que também tem uma superfície sem atrito. O centro de massa do bloco desce de uma altura h, enquanto o bloco desliza de sua posição inicial até o piso horizontal.
- (a) Quais são os valores de rapidez do bloco e da cunha, no instante em que se separam, seguindo seus próprios caminhos?
- (b) Teste a plausibilidade de seus cálculos para o caso limite M >> m.
Movimento do centro de massa (c.m.)
A localização do centro de massa. Sistema contínuo.
\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec r \,dm
\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int_0^L( x\hat i) \lambda \,dx
\vec r = x\hat i
dm=\lambda dx
\vec R_{cm} =\frac{\lambda}{M}\frac{L^2}{2}\hat i
\vec R_{cm} =\frac{L}{2}\hat i
\lambda=\frac{M}{L}
Movimento do centro de massa (c.m.)
A localização do centro de massa. Sistema contínuo.
\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec r \,dm
\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int_0^r\int_0^{2\pi}\vec r dm
\vec r = x\hat i
dm=\sigma da
\sigma=\frac{M}{A}
FM - Tópico 6
By Ronai Lisboa
FM - Tópico 6
Movimento do centro de massa
