FM - Tópico 6

Objetivos

Trabalho no centro de massa

Estudar um sistema de partículas

Colisões no referencial do centro de massa

Movimento do centro de massa (c.m.)

O centro de massa se move como se toda a massa do bastão estivesse nele concentrada e

como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele.

O movimento das partes do bastão não afetam o movimento do centro de massa.

Movimento do centro de massa (c.m.)

A localização do centro de massa no referencial do laboratório.

\vec R_{cm} = \frac{m_1\vec r_1+m_2\vec r_2}{m_1+m_2}

\vec R_{cm} = \frac{m_1\vec r_1+m_2\vec r_2}{m_1+m_2}

\vec r_1 = (0,5\hat i +3,5 \hat j)\text{ m}

\vec r_1 = (0,5\hat i +3,5 \hat j)\text{ m}

\vec r_2 = (3,0\hat I + 1,0 \hat j)\text{ m}

\vec r_2 = (3,0\hat I + 1,0 \hat j)\text{ m}

m_1= 1 \text{ kg}

m_1= 1 \text{ kg}

m_2= 2 \text{ kg}

m_2= 2 \text{ kg}

\vec R_{cm} =(2,2\hat i + 1,8 \hat j) \text{m}

\vec R_{cm} =(2,2\hat i + 1,8 \hat j) \text{m}

X_{cm} =\frac{\sum_i m_ix_i}{M}

X_{cm} =\frac{\sum_i m_ix_i}{M}

Y_{cm} =\frac{\sum_i m_iy_i}{M}

Y_{cm} =\frac{\sum_i m_iy_i}{M}

Movimento do centro de massa (c.m.)

\vec V_{cm} = \frac{m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}{m_1+m_2}

\vec V_{cm} = \frac{m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}{m_1+m_2}

\Rightarrow M\vec V_{cm} = {m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}

\Rightarrow M\vec V_{cm} = {m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}

\Rightarrow M\vec V_{cm} = \vec P_{sis}

\Rightarrow M\vec V_{cm} = \vec P_{sis}

\vec V_{cm} =\frac{ \vec P_{sis}}{M}

\vec V_{cm} =\frac{ \vec P_{sis}}{M}

\Rightarrow M\vec A_{cm} = {m_1\vec a_1+m_2\vec v_a}

\Rightarrow M\vec A_{cm} = {m_1\vec a_1+m_2\vec v_a}

\Rightarrow M\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_i

\Rightarrow M\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_i

A velocidade do centro de massa no referencial do laboratório.

A aceleração do centro de massa no referencial do laboratório.

\vec A_{cm} = \frac{m_1\vec a_1+m_2\vec a_2}{m_1+m_2}

\vec A_{cm} = \frac{m_1\vec a_1+m_2\vec a_2}{m_1+m_2}

\vec a_1

\vec a_1

\vec a_2

\vec a_2

\vec a_{cm}

\vec a_{cm}

\vec A_{cm} =\frac{ \vec F_{res}}{M}

\vec A_{cm} =\frac{ \vec F_{res}}{M}

Movimento do centro de massa (c.m.)

O c.m. se move como se toda a massa do sistema estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele.

m\vec R_{cm} = \sum_i m_i\vec r_i

m\vec R_{cm} = \sum_i m_i\vec r_i

m\vec V_{cm} = \sum_i m_i\vec v_i

m\vec V_{cm} = \sum_i m_i\vec v_i

m\vec A_{cm} = \sum_i m_i\vec a_i

m\vec A_{cm} = \sum_i m_i\vec a_i

\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_i

\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_i

\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i (\vec F_{ext}+\vec F_{int})

\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i (\vec F_{ext}+\vec F_{int})

\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_{ext}

\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_{ext}

\Rightarrow \frac{d\vec P{sis}}{dt}=\vec F_{ext}

\Rightarrow \frac{d\vec P{sis}}{dt}=\vec F_{ext}

\vec F_1

\vec F_1

\vec F_2

\vec F_2

\vec F_{12}

\vec F_{12}

\vec F_{21}

\vec F_{21}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A localização em relação ao referencial do centro de massa.

\vec r_1^{ \,\prime}=\vec r_1 - \vec R_{cm} = \frac{m_2}{m_1+m_2}(\vec r_1-\vec r_2)

\vec r_1^{ \,\prime}=\vec r_1 - \vec R_{cm} = \frac{m_2}{m_1+m_2}(\vec r_1-\vec r_2)

\vec r_2^{ \,\prime}=\vec r_2 - \vec R_{cm} = \frac{m_1}{m_1+m_2}(\vec r_2-\vec r_1)

\vec r_2^{ \,\prime}=\vec r_2 - \vec R_{cm} = \frac{m_1}{m_1+m_2}(\vec r_2-\vec r_1)

\vec r_1^{ \,\prime}=-\frac{m_2}{m_1}\vec r_2^{\,\prime}

\vec r_1^{ \,\prime}=-\frac{m_2}{m_1}\vec r_2^{\,\prime}

\Rightarrow m_1\vec r_1^{ \,\prime}+{m_1}\vec r_2^{\,\prime}=0

\Rightarrow m_1\vec r_1^{ \,\prime}+{m_1}\vec r_2^{\,\prime}=0

Derivando em relação ao tempo,

m_2\vec u_2+{m_1}\vec u_1=0

m_2\vec u_2+{m_1}\vec u_1=0

\vec p_2^{\,\prime} + \vec p_1^{\,\prime} = 0

\vec p_2^{\,\prime} + \vec p_1^{\,\prime} = 0

\Rightarrow \vec P_{sis}^{\,\prime} = 0

\Rightarrow \vec P_{sis}^{\,\prime} = 0

Dividindo membro a membro:

Movimento do centro de massa (c.m.)

No referencial do laboratório

\vec V_{cm} = \frac{m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}{m_1+m_2}

\vec V_{cm} = \frac{m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}{m_1+m_2}

\Rightarrow M\vec V_{cm} = {m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}

\Rightarrow M\vec V_{cm} = {m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}

No referencial do centro de massa

\vec u_1=\vec v_1 - \vec V_{cm}

\vec u_1=\vec v_1 - \vec V_{cm}

\vec u_2=\vec v_2 - \vec V_{cm}

\vec u_2=\vec v_2 - \vec V_{cm}

\Rightarrow0= {m_1\vec u_1+m_2\vec u_2}

\Rightarrow0= {m_1\vec u_1+m_2\vec u_2}

\Rightarrow M\vec V_{cm} = \vec P_{sis}

\Rightarrow M\vec V_{cm} = \vec P_{sis}

\vec V_{cm} =\frac{ \vec P_{sis}}{M}

\vec V_{cm} =\frac{ \vec P_{sis}}{M}

0 = { \vec P^{\prime}_{sis}}

0 = { \vec P^{\prime}_{sis}}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A cinemática de um sistema de partículas

O movimento de um sistema de partículas é a soma da velocidade das partículas em relação ao centro de massa mais a velocidade do próprio centro de massa.

\vec v= \vec V_{cm} + \vec V_{int}

\vec v= \vec V_{cm} + \vec V_{int}

\vec V_{cm}

\vec V_{cm}

\vec V_{rel}

\vec V_{rel}

Quando um sistema de partículas apenas translada a energia cinética é dada pela expressão:

K= K_{cm}+K_{int}

K= K_{cm}+K_{int}

K_{cm}=\frac{1}{2}MV_{cm}^2

K_{cm}=\frac{1}{2}MV_{cm}^2

K_{int}=\frac{1}{2}m_iu_i^2

K_{int}=\frac{1}{2}m_iu_i^2

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia

A partir do teorema trabalho-energia cinética para um sistema de partículas

\Delta K = W_{ext}+W_{int}

\Delta K = W_{ext}+W_{int}

podemos estudar os processos de colisão de partículas. Se recordarmos que

\Delta K = W_{ext}^c+ W_{ext}^{nc}+ W_{int}^c+ W_{int}^{nc}

\Delta K = W_{ext}^c+ W_{ext}^{nc}+ W_{int}^c+ W_{int}^{nc}

\Delta K= \Delta K_{cm}+\Delta K_{int}

\Delta K= \Delta K_{cm}+\Delta K_{int}

\Delta K_{cm}+\Delta K_{int}= W_{ext}^c+ W_{ext}^{nc}+ W_{int}^c+ W_{int}^{nc}

\Delta K_{cm}+\Delta K_{int}= W_{ext}^c+ W_{ext}^{nc}+ W_{int}^c+ W_{int}^{nc}

Daí,

em que:

W^c = -\Delta U

W^c = -\Delta U

Temos o princípio da energia:

\Delta E = W_{ext}^{nc}+ W_{int}^{nc}

\Delta E = W_{ext}^{nc}+ W_{int}^{nc}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia

Em uma colisão as forças externas se cancelam ou são nulas,

A velocidade do centro de massa não varia ($F_{ext} = M A_{cm} = 0)$

\Delta K_{cm}=0

\Delta K_{cm}=0

O tempo de contato é muito pequeno as variações nas posições da partículas do sistema são desprezíveis e a energia potencial interna conservativa não varia.

W_{ext}^{c}+ W_{ext}^{nc}=0

W_{ext}^{c}+ W_{ext}^{nc}=0

W_{int}^{c}=0

W_{int}^{c}=0

Daí,

\Delta K_{cm}+\Delta K_{int}= W_{ext}^c+ W_{ext}^{nc}+ W_{int}^c+ W_{int}^{nc}

\Delta K_{cm}+\Delta K_{int}= W_{ext}^c+ W_{ext}^{nc}+ W_{int}^c+ W_{int}^{nc}

\Rightarrow\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}

\Rightarrow\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia

Nas colisões elásticas, o trabalho das forças internas não conservativas é nulo. A energia cinética total do sistema permanece constante.

As forças externas são nulas.

\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}=0

\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}=0

\Rightarrow K_{int,i}=K_{int,f}

\Rightarrow K_{int,i}=K_{int,f}

\Delta \vec P_{sis} = \vec F_{ext}\Delta = 0

\Delta \vec P_{sis} = \vec F_{ext}\Delta = 0

\Rightarrow\vec P_{sis,i}=\vec P_{sis,f}

\Rightarrow\vec P_{sis,i}=\vec P_{sis,f}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia

Nas colisões inelásticas, o trabalho das forças internas não conservativas durante a colisão é diferente de zero.

As forças externas são nulas quando comparada as forças internas durante a colisão.

\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}\neq 0

\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}\neq 0

\Rightarrow K_{int,i}\neq K_{int,f}

\Rightarrow K_{int,i}\neq K_{int,f}

\Delta \vec P_{sis} = \vec F_{ext}\Delta = 0

\Delta \vec P_{sis} = \vec F_{ext}\Delta = 0

\Rightarrow\vec P_{sis,i}=\vec P_{sis,f}

\Rightarrow\vec P_{sis,i}=\vec P_{sis,f}

No dia-a-dia, parte da energia é sempre transferida da energia cinética para outras formas de energia, como a energia térmica e sonora.

A energia cinética não é conservada.

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia

Nas colisões perfeitamente inelásticas a distância relativa entre quaisquer partículas do sistema é constante, após a colisão.

Isso significa que derivando em relação ao tempo, após a colisão

\vec r_1^{ \,\prime}=\vec r_1 - \vec R_{cm}

\vec r_1^{ \,\prime}=\vec r_1 - \vec R_{cm}

onde $\vec r_1^{\,\prime}$ permanece constante.

\vec v_1 - \vec V_{cm} =0

\vec v_1 - \vec V_{cm} =0

\vec V_{cm} =\vec v_1

\vec V_{cm} =\vec v_1

\Delta K_{cm} = 0

\Delta K_{cm} = 0

Depois da colisão, a energia cinética interna final do sistema é zero.

\Delta K = W_{int}^{nc}

\Delta K = W_{int}^{nc}

\Delta K = -K_{int,i}

\Delta K = -K_{int,i}

-K_{int,i} = W_{int}^{nc}<0

-K_{int,i} = W_{int}^{nc}<0

Princípio da conservação da energia

As interações entre dois sistemas pode ser interpretada como uma troca de momento, mas pode ser expressa como uma troca de energia.

A análise de sistemas de partículas em termos de energia é importante não só para a física, como também para a química, a biologia e a engenharia.

Como tratar a energia de um sistema de partículas?

Podem atuar sobre as partículas tanto forças externas como internas.

O trabalho total pode ser separado como o trabalho das forças internas e das forças externas.

Princípio da conservação da energia

A variação da energia cinética de um sistema de partículas é igual ao trabalho realizado sobre o sistema pelas forças externas e internas.

\vec F

\vec F

A força externa do pistão executa um trabalho externo.

As forças intermoleculares executa um trabalho interno.

O trabalho total leva a uma variação da energia cinética do sistema.

\Delta K_{sis} = W_{ext} + W_{int}

\Delta K_{sis} = W_{ext} + W_{int}

Princípio da conservação da energia

Quando as forças internas em um sistema de partículas são conservativas, existe uma energia potencial interna que depende da natureza das forças internas.

No sistema planetário e atômico as forças dependem atuam al ao longo da linha que une as duas partículas, a energia potencial interna depende apenas da distância ao centro de forças.

Nesse caso,

\Delta K_{sis} = W_{ext} -\Delta U_{int}

\Delta K_{sis} = W_{ext} -\Delta U_{int}

U=U(r_{12})

U=U(r_{12})

W_{int}=-\Delta U_{int}

W_{int}=-\Delta U_{int}

\Delta K_{sis} +\Delta U_{int}= W_{ext}

\Delta K_{sis} +\Delta U_{int}= W_{ext}

Princípio da conservação da energia

Em um sistema de partículas, define-se a energia própria como a grandeza:

em que

\Delta E = W_{ext}

\Delta E = W_{ext}

E = K_{sis} +\Delta U_{int}

E = K_{sis} +\Delta U_{int}

K_{sis}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2++\frac{1}{2}mv_3^2\cdots

K_{sis}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2++\frac{1}{2}mv_3^2\cdots

U_{int} = U_{12}+U_{13}+\cdots+U_{23}+\cdots

U_{int} = U_{12}+U_{13}+\cdots+U_{23}+\cdots

Portanto,

a variação da energia própria de um sistema de partículas é igual ao trabalho realizado sobre o sistema por forças externas.

Princípio da conservação da energia

Pode ocorrer do trabalho das forças externas ser nulo. Assim,

\Delta E = 0

\Delta E = 0

A soma da energia cinética com a energia potencial interna, ou energia própria, $E$ , de um sistema de partículas isolado permanece constante em relação a um observador inercial.

Em um sistema isolado existe uma conversão contínua de energia cinética em potencial interna e vice-versa.

Princípio da conservação da energia

Pode ocorrer do trabalho das forças externas ser devido à forças conservativas,

W_{ext} = -\Delta U_{ext}

W_{ext} = -\Delta U_{ext}

Nesse caso, temos a energia total do sistema sujeito à ação de forças externas conservativas:

\Delta E + \Delta U_{ext} = 0

\Delta E + \Delta U_{ext} = 0

\Delta E_{total}=0

\Delta E_{total}=0

Para o átomo de hidrogênio em um campo elétrico externo:

E_{total}=\frac{1}{2}mv_e^2+\frac{1}{m}v_p^2+k \frac{q_e q_p}{r_{12}}+\frac{1}{2}CV^2

E_{total}=\frac{1}{2}mv_e^2+\frac{1}{m}v_p^2+k \frac{q_e q_p}{r_{12}}+\frac{1}{2}CV^2

Princípio da conservação da energia

A energia total de uma molécula diatômica sujeita ao campo gravitacional e que interage como se fosse um sistema massa mola (modelando a interação eletrostática)

A energia própria:

K_{sis}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2

K_{sis}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2

\vec v_1

\vec v_1

\vec v_2

\vec v_2

x_{12}

x_{12}

U_{int}=\frac{1}{2}kx_{12}^2

U_{int}=\frac{1}{2}kx_{12}^2

U_{ext}=mgy_1+mgy_2

U_{ext}=mgy_1+mgy_2

E=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_{12}^2

E=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_{12}^2

A energia total:

E_{total}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_{12}^2+mgy_1+mgy_2

E_{total}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_{12}^2+mgy_1+mgy_2

y_1

y_1

y_2

y_2

Exemplo 4: T8-55 - Um corpo de 5,0 kg com uma rapidez de 4,0 m/s, colide frontalmente com ouro corpo, de 10,0 kg, que se move de encontro a ele com 3,0 m/s. O corpo de 10,0 kg fica parado após a colisão.

(a) Qual é a rapidez do corpo de 5,0 kg após a colisão?

(b) A colisão é elástica?

Exemplo 5: T8-59 - Um bloco de massa m1 = 2,0 kg desliza sobre uma mesa sem atrito com uma rapidez de 10 m/s. Diretamente à frente dele e se deslocando no mesmo sentido com uma rapidez de 3,0 m/s, está um bloco de massa m2 = 5,0 kg. Uma mola ideal, de constante elástica k = 1120 N/m, está presa ao segundo bloco.

(a) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema?

(b) Durante a colisão, a mola sofre uma compressão máxima D. Qual é o valor de D?

(c) Os blocos acabarão por se separar novamente. Quais são as velocidades dos dois blocos, após a separação, medidas no referencial do centro de massa?

Exemplo 6: T8-79 - Uma bola repica até 80 por cento de sua altura original.

(a) Qual fração de sua energia mecânica é perdida a cada repicada?

(b) Qual é o coeficiente de restituição do sistema bola-chão?

Exemplo 1: T8-32) Um bloco de madeira e um revólver estão firmemente fixos nas extremidades opostas de uma longa plataforma montada sobre um trilho de ar sem atrito. O bloco e o revólver estão separados de uma distância L. O sistema está inicialmente em repouso. O revólver dispara uma bala que o abandona com uma velocidade vb, atingindo o bloco e nele se encravando. A massa da bala é mb e a massa do sistema revólver-plataforma-bloco é mp.
(a) Qual é a velocidade da plataforma imediatamente após a bala deixar a arma?
Qual é velocidade da plataforma imediatamente após a bala atingir o repouso dentro do bloco?
(b) Qual é a distância percorrida pela plataforma, enquanto a bala está em trânsito entre o revólver e o bloco?

Exemplo 2: T8-36) A figura mostra o comportamento de um projétil justo após ele ter se partido em três pedaços. Qual era a rapidez do projétil justo antes de se partir?

Exemplo 4: T40) Uma cunha de massa M é colocada sobre uma superfície horizontal e sem atrito, e um bloco de massa m é colocado sobre a cunha, que também tem uma superfície sem atrito. O centro de massa do bloco desce de uma altura h, enquanto o bloco desliza de sua posição inicial até o piso horizontal.
(a) Quais são os valores de rapidez do bloco e da cunha, no instante em que se separam, seguindo seus próprios caminhos?
(b) Teste a plausibilidade de seus cálculos para o caso limite M >> m.

Movimento do centro de massa (c.m.)

A localização do centro de massa. Sistema contínuo.

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec r \,dm

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec r \,dm

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int_0^L( x\hat i) \lambda \,dx

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int_0^L( x\hat i) \lambda \,dx

\vec r = x\hat i

\vec r = x\hat i

dm=\lambda dx

dm=\lambda dx

\vec R_{cm} =\frac{\lambda}{M}\frac{L^2}{2}\hat i

\vec R_{cm} =\frac{\lambda}{M}\frac{L^2}{2}\hat i

\vec R_{cm} =\frac{L}{2}\hat i

\vec R_{cm} =\frac{L}{2}\hat i

\lambda=\frac{M}{L}

\lambda=\frac{M}{L}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A localização do centro de massa. Sistema contínuo.

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec r \,dm

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec r \,dm

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int_0^r\int_0^{2\pi}\vec r dm

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int_0^r\int_0^{2\pi}\vec r dm

\vec r = x\hat i

\vec r = x\hat i

dm=\sigma da

dm=\sigma da

\sigma=\frac{M}{A}

\sigma=\frac{M}{A}

Tópico 6

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

BCT - ECT - UFRN