Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Tópico 4
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Como propagar os "erros" de uma medida?
Como relatar uma medida experimental?
Incertezas
Num experimento há incertezas que não podem ser evitadas. Elas são as incertezas aleatórias.
No experimento do alcance, solta-se a bolinha e observa-se onde ela cai:
Cortesia: Prof. André BessaO algarismo duvidoso, nesta régua com escala em centímetros.
O alcance, a distância horizontal a partir do pé da plataforma foi de:
x_A = 26,6 \text{ cm}
Incertezas
A incerteza \(( \sigma_m )\) dos valores obtidos pelo experimentador A, foi maior que aqueles do experimentador B. Mas os conjuntos de medidas A e B têm uma mesma média.
Cortesia: Prof. André Bessa
\sigma_A=0,26\text{ cm}
A
B
Média
\overline{x}_A=26,06\text{ cm}
\overline{x}_B=26,06\text{ cm}
\sigma_B=0,12\text{ cm}
\sigma_A
\sigma_B
Como calcular a incerteza da medida que é o quanto um uma única medida se afasta da média?
=AVERAGE(intervalo)
Incertezas
A incerteza da media, isto é sua dispersão em relação ao valor médio é dada pela expressão desvio padrão da média.
Desvio padrão da média
Cortesia: Prof. André BessaAplicando a equação acima para os dois grupos A e B, obtemos:
\sigma_A=0,26\text{ cm}
\sigma_B=0,12\text{ cm}
Relato da medida
x_A=(26,06\pm 0,26)\text{ cm}
x_B=(26,06\pm 0,12)\text{ cm}
25,80 \text{ cm}
26,06 \text{ cm}
26,32 \text{ cm}
A
=\frac{STDEVP(intervalo)}{\sqrt{n}}
Propagação de incertezas
Para o grupo \(A\) o alcance foi de \(x_A = (26,06\pm 0,26)\) cm.
O tempo de queda da altura \(h\), a partir do borda da plataforma é o tempo de viagem na horizontal \(x_A\).
Se esse tempo é \(t_A = (3,04 \pm 0,02)\) s, qual é a velocidade na horizontal?
Tanto o alcance quanto o tempo têm incertezas. Como calcular a velocidade propagando as incertezas?
v_{x} = \frac{\Delta x}{\Delta t}
v_{x} = \frac{(26,06\pm 0,26)\text{ m}}{(3,04 \pm 0,02) \text{s}}
E, agora? Como fazer?
incerteza do comprimento
incerteza do tempo
medida do comprimento
medida do tempo
Propagação de incertezas
Na multiplicação e divisão, as regras são assim:
\left(
\frac{u_w}{w}
\right)^2
=\left(
\frac{u_x}{x}
\right)^2
+
\left(
\frac{u_y}{y}
\right)^2
\(u_x,u_y,u_w\) são as incertezas
\(x,y,w\) são as medidas
v_{x} = \frac{(26,06\pm 0,26)\text{ cm}}{(3,04 \pm 0,02) \text{ s}}
Para nosso exemplo, \(w\) é a velocidade, \(x\) é o comprimento e \(y\) é o tempo.
\left(
\frac{u_w}{w}
\right)^2
=\left(
\frac{0,26}{26,06}
\right)^2
+
\left(
\frac{0,20}{3,04}
\right)^2
\left(
\frac{u_w}{w}
\right)
=0,0665417
u_w=0,0665417\, w
u_w=0,0665417\, \frac{26,06\text{ cm}}{3,04\text{ s}}=0,57042\text{ cm/s}
v_x=(8,57\pm0,57)\text{cm/s}
Queremos a velocidade, \(w\) e sua incerteza \(u_w\).
w=\frac{x}{y}
w={x}{y}
Propagação de incertezas
Na adição e subtração, as regras são assim:
\(u_x,u_y,u_w\) são as incertezas
\(x,y,w\) são as medidas
Suponha que vamos somar tempos:
t_s=(2,03\pm0,04)\text{ s}
u_w^2 = u_x^2+u_y^2
w = x\pm y
t_1 = (1,05\pm 0,04) \text{ s}
t_2 = (0,98\pm 0,02) \text{ s}
u_w^2 = (0,04)^2+(0,02)^2
u_w=0,0447214
A soma é,
incerteza da soma ou diferença
Propagação de incertezas
Produto de funções.
w=ax^py^q
\left(
\frac{u_w}{w}
\right)^2
=\left(p
\frac{u_x}{x}
\right)^2
+
\left(q
\frac{u_y}{y}
\right)^2
y= \frac{1}{2}at^2
Por exemplo, onde a aceleração \(a\) e o tempo \(t\) têm incertezas.
Propagação de incertezas
Funções trigonométricas.
y=A\cos(kx)
Por exemplo, onde\(x\) tem incertezas.
w=a\text{sen}(x)
u_w = |\frac{dw}{dx}|u_x
u_w = |a\text{cos}(x)|u_x
Propagação de incertezas
Funções logarítimicas.
y=\ln x
Por exemplo, onde \(x\) tem incertezas.
w = \ln_a x
u_w^2=\left(
\frac{d w}{d x}
\right)^2
\left(
{u_x}
\right)^2
u_w^2=\left(
\frac{1}{\ln a}
\right)^2
\left(
\frac{u_x}{x}
\right)^2
Jogos Olímpicos 50 m 100 m
Jogos Olímpicos 50 m 100 m
Tempos (s)
Rapidez média (m/s)
Toda medida está associada a incertezas e devem ser relatadas.
Cálculos secundários devem obedecer a certas regras estatísticas.
Incertezas em artigos. Artigos baseados em dados relatam suas incertezas.
Como as incertezas da velocidade foram calculadas?
FM - Tópico 4
By Ronai Lisboa
FM - Tópico 4
Medidas. Média. Desvio padrão. Propagação de incertezas. Planilhas eletrônicas.
