Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 19
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Analisar o balanço de energia no MHS.
Analisar o balanço de energia nos movimentos dos sistemas:
Bibliografia
Tipler
Capítulo: 14.
Seções: 14.2 e 14.3
Fonte: Giphy. Prof. Walter Lewin - MIT
- Pêndulo simples;
- Oscilador massa-mola na horizontal;
- Oscilador massa-mola na vertical;
- Outros sistemas oscilantes.
Motivação
O Edifício Comcast na Filadélfia, Pensilvânia, que se ergue acima do horizonte, tem aproximadamente 305 metros de altura. Nessa altura, os andares superiores podem oscilar para frente e para trás devido à atividade sísmica e aos ventos flutuantes.
É mostrado acima um desenho esquemático de um amortecedor de massa de coluna líquida ajustado, instalado na parte superior da Comcast, consistindo em um reservatório de água de 300.000 galões para reduzir as oscilações.
Motivação
Propriedades atômicas são utilizadas para medir o tempo com grande precisão.
Fonte: https://repositorio.unesp.brA molécula de amônia NH3 tem uma estrutura piramidal, com três átomos de H na base e um átomo de N no vértice.
Existe uma posição simétrica, N', do átomo de nitrogênio que se encontra à mesma distância do plano H-H-H, mas no lado oposto.
O átomo de N oscila entre estas duas posições de equilíbrio na razão de 2,387013×1016 oscilações por segundo.
O primeiro relógio atômico foi baseado nesse princípio.
Em período de 17 000 000 de anos, pode se desviar de apenas 1 segundo.
Motivação
Plataformas programáveis possuem osciladores de quartzo que definem a frequência de operação dos microcontroladores das placas e por sua vez da frequência do processamento dos dados dos programas.
Fonte: arduino.comNessas placas a frequência de operação está em 16 MHz.
Motivação
Os pêndulos permitem controlar o tempo com uma corda e uma massa, apenas!
Fonte: https://www.youtube.com/embed/JWtsOiVxIIE em t = 2:32 min e pular para t = 5:00 min.Motivação
Pesquisadores de biomecânica usam o modelo de pêndulo para calcular o momento de inércia dos membros inferiores de animais. Essa informação é importante para analisar como um animal caminha.
Fonte: https://youtu.be/nOSTzpA0nGkManter o equilíbrio em robôs requer modelagem numérica.
Pêndulo invertido e automação.
Mas para chegar a esse nível, você precisa começar pelos fundamentos.
Motivação
Ao caminhar avançamos de um comprimento 2L, onde L é o comprimento das nossas pernas.
L
L
2L
2L
O período do pêndulo simples é:
T=2πgL
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
A rapidez ao andar é
v=T2L
v=\frac{2L}{T}
⇒v=π1Lg
\Rightarrow \quad v=\frac{1}{\pi}\sqrt{Lg}
Para L=1m, a rapidez da caminhada é:
v≈1,0 m/s
v\approx 1,0\text{ m/s}
Motivação
Melhoramos o modelo trocando um fio e uma massa por uma barra com massa.
L
L
2L
2L
O período físico é:
T=2π3g2L
T = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}
A rapidez ao andar é
v=T2L
v=\frac{2L}{T}
⇒v=π123Lg
\Rightarrow \quad v=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{Lg}
Para L=1m, a rapidez da caminhada é:
v≈1,2 m/s
v\approx 1,2\text{ m/s}
Motivação
Em um modelo ainda mais elaborado as pernas oscilam como pêndulos físicos invertidos.
Fonte: BalbinotMovimentos como esses são utilizados em algoritmos simplificados para controle, estimação e aprendizado de uma máquina.
As equações estão longe do nível desse curso. Em equações diferenciais e modelagem integrada começarão a aperfeiçoar o modelo.
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
A força elástica é um força conservativa (depende da posição e é central):
F(x)=−kx
F(x) = -kx
O trabalho realizado pela força elástica:
W=∫xixfF(x)dx
W = \int_{x_i}^{x_f} F(x)dx
⇒W=21kxi2−21k2xf2
\Rightarrow W = \frac{1}{2}kx_i^2-
\frac{1}{2}k^2x_f^2
A variação da energia cinética:
ΔK=Kf−Ki
\Delta K=K_f-K_i
⇒ΔK=21mvf2−21mvi2
\Rightarrow \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2-
\frac{1}{2}mv_i^2
A variação da energia potencial elástica para uma força conservativa:
ΔU=−W
\Delta U = -W
⇒ΔU=21kxf2−21kxi2
\Rightarrow \Delta U = \frac{1}{2}kx_f^2-
\frac{1}{2}kx_i^2
funções quadráticas
Note que x e v são funções do tempo!
ω02=mk
\omega_0^2=\frac{k}{m}
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
Somando as variações da energia cinética e potencial elástica, obtemos a variação da energia mecânica do sistema:
ΔE=ΔK+ΔU
\Delta E = \Delta K +\Delta U
onde definimos E=K+U como a energia mecânica do sistema. Então:
E=21mv2+21kx2
E = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2
ΔE=(21mvf2−21mvi2)+(21kxf2−21kxi2)
\Delta E =\left( \frac{1}{2}mv_f^2-
\frac{1}{2}mv_i^2\right)+\left( \frac{1}{2}kx_f^2-
\frac{1}{2}kx_i^2\right)
ΔE=(21mvf2+21kxf2)−(21mvi2+21kxi2)
\Delta E =\left( \frac{1}{2}mv_f^2+\frac{1}{2}kx_f^2
\right)-\left( \frac{1}{2}mv_i^2+
\frac{1}{2}kx_i^2\right)
ΔE=Ef−Ei
\Delta E =E_f-E_i
Note que as grandezas v e x são funções do tempo! Mas a energia mecânica não é!
Fonte: Eric Mazur. Veja código aqui.import numpy as np import math import matplotlib.pyplot as plt ke=2.0 mp=2.0 En=10.0 def ve(x): return (2.0*(En-0.5*ke*x**2)/mp)**0.5 def Up(x): return 0.5*ke*x**2 def Kc(x): return 0.5*mp*ve(x)**2 xp = np.linspace(-3,3) v = ve(xp) U = Up(xp) K = Kc(xp) plt.plot(xp, U, label='Energia potencial') plt.plot(xp, K, label='Energia cinetica' ) plt.xlim([-5,5]) plt.ylim([-1,12]) plt.legend(loc=2) plt.title('Conservação da Energia no Pêndulo Simples') plt.xlabel('Posição [m]') plt.ylabel('Energia [J]') plt.grid()
Verifique: COLAB Notebooks
ΔE=0
\Delta E =0
Ef=Ei
E_f=E_i
→
\rightarrow
→
\rightarrow
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
As funções de movimento e velocidade são funções oscilatórias no tempo:
E=K+U=21mω02A2
E =K+U=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
x(t)=Acos(ω0t+δ)
x(t) = A\cos(\omega_0 t + \delta)
v(t)=−ω0Asen(ω0t+δ)
v(t) = -\omega_0A\text{sen}(\omega_0 t + \delta)
U=21kx2=21kA2cos2(ω0t+δ)
U = \frac{1}{2}kx^2\,\,=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega_0t+\delta)
As funções energia potencial elástica e cinética são funções oscilatórias no tempo:
K=21mv2=21mω02A2sen2(ω0t+δ)
K = \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\text{sen}^2(\omega_0t+\delta)
A energia mecânica é constante no tempo.
E=K+U=21kA2
E =K+U=\frac{1}{2}kA^2
ou
ω02=mk
\omega_0^2=\frac{k}{m}
Fonte: GeogebraΔE=0
\Delta E =0
→
\rightarrow
A mola oscila na vertical. Vídeo.
Cada imagem registra uma posição e um um instante de tempo. Deslocando as imagens vemos que o movimento é periódico no tempo. A cinemática conta a história do movimento
Para estudar o movimento oscilatório nós podemos empregar a dinâmica.
O movimento harmônico simples na vertical
O movimento harmônico simples na vertical
Fonte: PHET
Determine a constante elástica das molas.
Utilize o conceito de período.
Determine os valores das massas desconhecidas.
Verifique que para uma mesma massa, o período independe da amplitude.
Verifique o que ocorre com o período quando a massa varia. e depois quando a mola é trocada.
T=2πkm
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
Planilha: LINK.
Fonte: PHET
A força peso tem sempre a orientação vertical para baixo e mesma magnitude.
A força elástica varia em magnitude e sentido.
A aceleração indica o sentido da força resultante.
É necessário desenhar para saber onde a massa vai ser encontrada?
A velocidade indica o sentido do movimento.
Fp
\vec F_p
Fe
\vec F_e
Fr
\vec F_r
v
\vec v
a
\vec a
A força resultante varia em magnitude e sentido.
O movimento harmônico simples na vertical
O movimento harmônico simples na vertical
Fonte: PHET
Somente no equilíbrio P=Fe.
A posição de equilíbrio é y0. A massa vai oscilar em relação a esse ponto.
O efeito da força peso é meramente o de deslocar a posição de equilíbrio para y0.
E fora do equilíbrio qual é a força resultante sobre a massa?
Sem a massa, a mola ideal na vertical não fica sujeita a forças.
Com a massa e na posição de equilíbrio a deformação da mola é y0 e o somatório das forças sobre a massa é nula.
y0
y_0
∑F=0
\sum \vec F = \vec 0
Fe+Fp=0
\vec F_e + \vec F_p=\vec 0
Fp
\vec F_p
Fe
\vec F_e
−ky0+mg=0
-ky_0+mg=0
+
+
y0=kmg
y_0 =\frac{mg}{k}
ky0=mg
ky_0=mg
O movimento harmônico simples na vertical
Fonte: PHET
y0
y_0
Fp
\vec F_p
Fe
\vec F_e
+
+
y
y
y′
y'
∑F=ma
\sum \vec F = m \vec a
Fe+Fp=ma
\vec F_e + \vec F_p=m\vec a
−ky+mg=ma
-ky+mg=ma
−ky0−ky′+mg=ma
-ky_0-ky'+mg=ma
−k(y0+y′)+mg=ma
-k(y_0+y')+mg=ma
−ky′=ma
-ky'=ma
De forma geral a deformação da mola será y′ em torno de y0:
ma=−ky′
ma = -k y'
mdt2d2y′=−ky′
m\frac{d^2y'}{dt^2} = -k y'
⇒dt2d2y′=−ω02y′
\Rightarrow \quad \frac{d^2y'}{dt^2} = - \omega_0^2 y'
Cuja solução é a função do MHS:
y′(t)=Acos(ω0t+δ)
y'(t) = A \cos(\omega_0 t +\delta)
Fora do equilíbrio a força resultante sobre a massa não é nula:
Quando vale a amplitude?
⇒ω02=mk
\Rightarrow \omega_0^2=\frac{k}{m}
Fe
\vec F_e
Fp
\vec F_p
MHS. Pêndulo Simples.
O pêndulo simples é um dispositivo mecânico que consiste de um fio inextensível e massa desprezível onde uma extremidade é fixa e na outra existe uma massa que pode oscilar segundo um MHS.
FONTE: PHETT=2πgL
T ={2\pi}\sqrt{\frac{L}{g}}
≈θ<15o≈0,25rad
\approx \theta < 15^o\approx 0,25 \text{rad}
Para um dado planeta, um pêndulo comprido possui um período maior que um pêndulo curto.
Quando g aumenta o período diminui e a frequência aumenta, pois ω0T=2π (constante).
O período não depende da massa do pêndulo simples.
MHS. Pêndulo Simples.
Sobre a massa há apenas duas forças:
Tração T de direção e magnitudes que variam.
Peso P de direção e magnitudes que não variam.
A força resultante não é constante.
No referencial adotado as forças peso e tração têm as seguintes componentes:
Ptan=Psen(θ)
P_{tan} = P \text{sen}(\theta)
Prad=Pcos(θ)
P_{rad} = P \text{cos}(\theta)
No ponto mais baixo da trajetória qual o valor de Ptan?
No ponto mais baixo qual a força resultante?
Ttan=0
T_{tan} = 0
Trad=T
T_{rad} = T
A força restauradora é Ptan.
−mgsen(θ)=mat
-mg\text{sen}(\theta)=ma_t
A força que muda a direção é T−Prad.
T−mgcos(θ)=mrvt2
T-mg\cos(\theta)=m\frac{v_t^2}{r}
Fonte: Halliday
MHS. Pêndulo Simples.
A força restauradora sobre o pêndulo simples é a força tangencial (Ptan). Essa força varia com o ângulo θ. Há um MHS se esse ângulo é pequeno!
FONTE: Sears & ZemanskyO movimento é acelerado e ao longo da força tangencial, a partir da segunda lei de Newton:
Fr=mat
F_r = m a_t
−mg sen θ=mat
-m g \text{ sen }\theta = m a_t
⇒at=−g sen θ
\Rightarrow \quad a_t = - g \text{ sen }\theta
⇒at≈−gθ
\Rightarrow \quad a_t \approx - g\,\theta
⇒Fr≈−Lmgx
\Rightarrow \quad F_r \approx -\frac{mg}{L}x
Similar à Lei de Hooke!
sen θ≈θ.
\text{sen }\theta\approx \theta.
Para pequenos ângulos, temos
E x=Lθ . Daí,
at=−gLx
a_t=-g\frac{x}{L}
dt2d2x=−gLx
\frac{d^2x}{dt^2}=-g\frac{x}{L}
⇒dt2d2x=−ω02x
\Rightarrow \quad\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2 x
É a EDO que rege o movimento do pêndulo simples.
Ptan=mat
P_{tan} = m a_t
MHS. Pêndulo Simples.
Tal como o sistema massa-mola, o pêndulo simples é regido por uma EDO, tal que:
FONTE: Wolfgang & Bauerdt2d2x=−ω02x
\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2 x
e a solução é uma função periódica no tempo:
x(t)=Acos(ω0t+δ)
x(t) = A\cos(\omega_0 t + \delta)
onde a frequência angular é:
ω0=Lg=inelaˊsticainercial
\omega_0 =\sqrt{ \frac{g}{L}} = \frac{inercial}{inelástica}
A frequência e o período:
f=2π1Lg
f =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}
T=2πgL
T ={2\pi}\sqrt{\frac{L}{g}}
θ(t)=θ0cos(ω0t+δ)
\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_0 t + \delta)
ou
≡inercialelaˊstica
\equiv\frac{elástica}{inercial}
senθ≈θ
\text{sen}\theta\approx \theta
θ≈0,26 rad=15o
\theta \approx 0,26\text{ rad}=15^o
Aproximações válidas para ângulos pequenos.
Para ângulos maiores veja Exemplo 14.9 do Tipler.
x=Lθ
x=L\theta
MHS. Pêndulo Simples.
As funções de movimento do pêndulos simples são:
θ(t)=θ0cos(ω0t+δ)
\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_0 t + \delta)
constante de fase
amplitude
frequência angular
ω0=Lg
\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}}
Função posição angular
Função velocidade angular
Função aceleração angular
ω(t)=dtdθ=−ω0θ0sen(ω0t+δ)
\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}=-\omega_0\theta_0\text{sen}(\omega_0t+\delta)
α(t)=dtdω=−ω02θ0cos(ω0t+δ)
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt}=-\omega_0^2\theta_0\text{cos}(\omega_0t+\delta)
Função velocidade
v(t)=Lω(t)
v(t) = L\omega(t)
Função aceleração
a(t)=Lα(t)
a(t) = L\alpha(t)
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
A energia mecânica do pêndulo simples para qualquer ângulo θ:
E=K+U
E = K + U
E=21mv2+mgL[1−cos(θ)]
E = \frac{1}{2}mv^2 + mgL[1-\cos(\theta)]
Nos pontos de retorno (v=0):
K=0
K = 0
U=mgL[1−cos(θ0)]
U=mgL[1-\cos(\theta_0)]
⇒E=mgL[1−cos(θ0)]
\Rightarrow E =mgL[1-\cos(\theta_0)]
Fonte: Wolfgang & BauerA energia mecânica é conservada:
Ei=Ef
E_i = E_f
⇒mgL[1−cos(θ0)]=21mv2+mgL[1−cos(θ)]
\Rightarrow \quad mgL[1-\cos(\theta_0)]
=
\frac{1}{2}mv^2 + mgL[1-\cos(\theta)]
⇒v=±2gL[cos(θ)−cos(θ0)]
\Rightarrow v=\pm \sqrt{
2gL
[
\cos(\theta)-\cos(\theta_0})
]
A velocidade do pêndulo:
Fonte: https://pin.it/2SEybXWQual o tempo para ir de v=0 a v=vmax?
Por que o vetor aceleração muda de direção?
Text
ângulo qualquer
ângulo inicial
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
Seja no sistema massa-mola ou nos diversos pêndulos, a força restauradora é responsável pelo MHS. Ela é do tipo: F=−cx. A constante c depende do sistema.
A energia total do sistema (mecânica) é conservada no tempo.
Mas as energias cinética e potencial variam no tempo!
As forças são restauradoras.
Pêndulos acoplados
Com e sem transferência de energia.
Fonte: https://youtu.be/duyzRDq9CG4Vídeo 2: LINK.
Vídeo 3: LINK.
Vídeo 4: LINK.
Não transferência de energia quando se observam cada um dos dois modos normais em fase e oposição de fase.
Há transferência de energia quando 1 oscilador está parado e o outro é colocado em movimento.
A solução desse sistema não é muito diferente daquele de um único oscilador.
Aplicações:
Modelagem de terremotos.
Vibração atômica-molecular.
Sistemas que oscilam
Elasticidade e frequência em uma barra rígida
3Δl
\frac{\Delta l}{3}
32Δl
\frac{2\Delta l}{3}
33Δl
\frac{3\Delta l}{3}
3l0
\frac{l_0}{3}
32l0
\frac{2l_0}{3}
33l0
\frac{3l_0}{3}
F⊥=−l0AYx
F_{\bot}=-\frac{AY}{l_0}x
≡keff
\equiv k_{eff}
A1
A_1
A2>A1
A_2>A_1
ΔF⊥,1
\Delta F_{\bot,1}
ΔF⊥,2
\Delta F_{\bot,2}
A extensão Δl sob uma dada força é proporcional ao comprimento original l0.
Strain=l0Δl
Strain = \frac{\Delta l}{l_0}
Um mesmo strain é causado pela aplicação de forças proporcionais à área de secção reta.
Stress=AΔF⊥
Stress = \frac{\Delta F_{\bot}}{A}
Para strain muito pequeno (0,1%), a razão stress/strain está em acordo com a lei de Hooke:
StrainStress=constante
\frac{Stress}{Strain} = constante
ΔF⊥=ΔpA
\Delta F_{\bot}=\Delta p A
T=2πAYml0
T=2\pi\sqrt{\frac{ml_0}{AY}}
Sistemas que oscilam
Flutuabilidade e frequência em um medidor de densidade (densímetro)
ρfluido
\rho_{fluido}
m
m
y
y
X
X
A
A
A força resultante sobre o densímetro ao ser empurrado para baixo:
y
y
≡keff
\equiv k_{eff}
Fr=−ρfAg y
F_r=-\rho_fAg\,\text{ y }
Sobre o densímetro existem duas forças:
A força peso que a Terra exerce sobre o densímetro, de massa m:
Fp=mg
F_p = mg
A força de empuxo que o fluido exerce sobre o densímetro, de massa m:
E=mfg
E=m_fg
Notando, que o empuxo é igual ao peso da massa do fluido deslocado.
E que o empuxo somente é igual ao peso do corpo no equilíbrio.
peso do corpo
peso do fluido deslocado
T=2πρfAgm
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho_fAg}}
Sistemas que oscilam
Flutuabilidade e frequência em um navio
É a distância medida na vertical, da face inferior da quilha, à linha de água; espaço ocupado pelo navio dentro de água; o mesmo que fundo.
O calado corresponde à altura de água necessária para o navio flutuar livremente ou, por outras palavras, a altura do espaço ocupado pelo navio dentro de água.
De uma maneira geral, o calado é maior à popa que à proa.
A palavra calado deriva de calar (arriar, baixar, descer).
Os termos ingleses para calado são draught e draft.
Nesse caso, é comum expressar a massa do navio em termos do calado, h:
m=ρfAh
m=\rho_fAh
A
A
ρfluido
\rho_{fluido}
T=2πρfAgm
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho_fAg}}
h=ρfAm
h=\frac{m}{\rho_fA}
O período de oscilação do navio:
T=2πgh
T=2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}
Para h=10m, o período é da ordem de T= 6 s.
Questão 1
Você dispõe de um pêndulo que oscila com período T na Terra. Você o leva para a Lua. Qual será o período do pêndulo na Lua em função do seu período na Terra?
Fonte: https://youtu.be/duyzRDq9CG4Questão 2
Um corpo de 3,0 kg, preso a uma mola, oscila com uma amplitude de 4,0 cm e um período de 2,0 s. (a) Qual é a energia total? (b) Qual é a rapidez máxima do corpo? (c) Em qual posição a rapidez do corpo é a metade de seu valor máximo?
Questão 3
Uma trapezista de circo inicia seu movimento partindo do repouso com a corda formando um ângulo de 45 graus com a vertical. A corda em 5,00 m de comprimento. Qual será a velocidade da trapezista no ponto mais baixo da trajetória?
Questão 4
Um bloco de 500 g, preso a uma mola, é puxado por uma distância de 20 cm e liberado. As oscilações subseqüentes são medidas, e delas se obtém um período de 0,80 s. Em que posição ou posições a velocidade do bloco vale 1,0 m/s?
Questão 5
Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k = 1000 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 50,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Determine (a) a frequência do movimento, (b) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude do movimento.
Questão 6
Que animação mostra corretamente a posição como função do tempo?
Caso não tenha ficado claro a explicação tente estudar o simulador aqui embaixo.
Questão 7
Na figura, duas molas iguais, de constante elástica 7580 N/m, estão ligadas a um bloco de massa 0,245 kg. Qual é a frequên- cia de oscilação no piso sem atrito?
Fonte: Halliday
Questão 8
Na figura duas molas são ligadas entre si e a um bloco de massa 0,245 kg que oscila em um piso sem atrito. As duas molas possuem uma constante elástica k = 6430 N/m. Qual é a frequência das oscilações?
Fonte: Halliday
Questão 9
A figura mostra o poço de energia potencial unidimensional no qual se encontra uma partícula de 2,0 kg [a função U(x) é da forma bx^2 e a escala do eixo vertical é definida por Us = 2,0 J]. (a) Se a partícula passa pela posição de equilíbrio com uma velocidade de 85 cm/s, a partícula retorna antes de chegar ao ponto x = 15 cm? (b) Caso a resposta seja afirmativa, calcule a posição do ponto de retorno; caso a resposta seja negativa, calcule a velocidade da partícula no ponto x = 15 cm.
Fonte: Halliday
Questão 10
A figura mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples em função da posição x. A escala vertical é definida por Ks = 4,0 J. Qual é a constante elástica?
Fonte: Halliday
Aula 19 Fundamentos de Mecânica Prof. Ronai Lisbôa UFRN - ECT - BCT
FM - Aula 19
By Ronai Lisboa
FM - Aula 19
Oscilações. Movimento Harmônico Simples (MHS). Pêndulo Simples. Oscilador massa-mola. Sistemas oscilantes. A conservação da energia no MHS.
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