Introducción a sistemas lineales

IE3041 - Sistemas de Control 2

Un caso especial de sistema

f(x)=ax, \qquad a\in\mathbb{R}

única función lineal que existe en el plano

f(x)=ax, \qquad a\in\mathbb{R}

única función lineal que existe en el plano

f(x)=ax, \qquad a\in\mathbb{R}

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}, \qquad \mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n \times n}

Sistema lineal (autónomo) homogéneo

¿Entradas y salidas?

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

¿Entradas y salidas?

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

sys = ss(A, B, C, D)

caso especial

sistema LTI en el espacio de estados

Sistemas LTI

vector de estado \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)

vector de entrada \(\mathbf{u}\in\mathbb{R}^m\)

vector de salida \(\mathbf{y}\in\mathbb{R}^p\)

condición inicial

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

Sistemas LTI

vector de estado \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)

vector de entrada \(\mathbf{u}\in\mathbb{R}^m\)

vector de salida \(\mathbf{y}\in\mathbb{R}^p\)

condición inicial

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

orden del sistema

Sistemas LTI

matriz del sistema

\(\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n \times n}\)

términos feedforward

\(\mathbf{D}\in\mathbb{R}^{p \times m}\)

matriz de salida

\(\mathbf{C}\in\mathbb{R}^{p \times n}\)

matriz de control

\(\mathbf{B}\in\mathbb{R}^{n \times m}\)

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

Sistemas LTI

sistema estrictamente propio

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

Sistemas LTI

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}u \\ y=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}u \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

sistema SISO (Single-Input Single-Output)

todo sistema que no es SISO se denomina MIMO (Multiple-Inputs Multiple-Outputs)

Sistemas LTI

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}u \\ y=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}u \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

sistema SISO (Single-Input Single-Output)

todo sistema que no es SISO se denomina MIMO (Multiple-Inputs Multiple-Outputs)

sistemas SISO \(\equiv\) Control 1

Sistemas LTI

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}u \\ y=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}u \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

sistema SISO (Single-Input Single-Output)

todo sistema que no es SISO se denomina MIMO (Multiple-Inputs Multiple-Outputs)

sistemas SISO \(\equiv\) Control 1

¿Cuál es la relación entre lo que hacíamos y lo que queremos hacer?

G(s)

veamos qué hay adentro...

¿Por qué sistemas LTI?

\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t}e^{\mathbf{A}(t-\tau)}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)d\tau

1. Todo sistema LTI tiene solución.

\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t}e^{\mathbf{A}(t-\tau)}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)d\tau

eA = expm(A)

e^{\mathbf{A}}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\mathbf{A}^k}{k!}=\mathbf{I}+\mathbf{A}+\dfrac{\mathbf{A}^2}{2}+\dfrac{\mathbf{A}^3}{6}+\cdots

2. Su simulación es también un sistema LTI (discreto).

\begin{cases} \mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{A}_d\mathbf{x}_k+\mathbf{B}_d\mathbf{u}_k \\ \mathbf{y}_k=\mathbf{C}_d\mathbf{x}_k+\mathbf{D}_d\mathbf{u}_k \\ \mathbf{x}_0=\mathbf{x}[k_0]=\mathbf{x}(t_0)\end{cases}

2. Su simulación es también un sistema LTI (discreto).

\mathbf{I}+\mathbf{A}\Delta t

\mathbf{B}\Delta t

\mathbf{C}

\mathbf{D}

forward Euler

2. Su simulación es también un sistema LTI (discreto).

\left(\mathbf{I}-\mathbf{A}\Delta t\right)^{-1}

\left(\mathbf{I}-\mathbf{A}\Delta t\right)^{-1}\mathbf{B}\Delta t

\mathbf{C}

\mathbf{D}

backward Euler

2. Su simulación es también un sistema LTI (discreto).

\left(\mathbf{I}-\mathbf{A}\dfrac{\Delta t}{2}\right)^{-1}\left(\mathbf{I}+\mathbf{A}\dfrac{\Delta t}{2}\right)

\left(\mathbf{I}-\mathbf{A}\dfrac{\Delta t}{2}\right)^{-1}\dfrac{\mathbf{B}\Delta t}{2}

\mathbf{C}

\mathbf{D}

sysd = c2d(sys, dt, 'tustin')

Tustin

2. Su simulación es también un sistema LTI (discreto).

e^{\mathbf{A}\Delta t}

\left(\displaystyle\int_{0}^{\Delta t}e^{\mathbf{A}s}ds\right)\mathbf{B}

\mathbf{C}

\mathbf{D}

sysd = c2d(sys, dt, 'zoh')

equivalente ZOH

3. Resultados tangibles para preguntas fundamentales.

Estabilidad

Controlabilidad

Observabilidad

Optimalidad

Robustez

¿Cómo obtenemos modelos LTI?

1. Modelado o sysID direct@

Kirchhoff

Newton

Otros

ejemplo:

>> ie3041_clase2_rendezvous2d.m

Ejemplo: circuitos lineales

en circuitos eléctricos, las variables de estado son siempre los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores

\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_C \\ i_L \end{bmatrix}

u = V_i

y = V_o

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 0 & 1/C \\ -1/L & -R/L \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1/L \end{bmatrix}u \\ y=\begin{bmatrix} 0 & R \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

>> ie3041_clase2_rlczoh.m

\mathbf{A}

\mathbf{B}

\mathbf{C}

Ejemplo: sistemas mecánicos lineales

en sistemas mecánicos, las variables de estado son siempre las posiciones y las velocidades

\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ \dot{p}_1 \\ \dot{p}_2 \end{bmatrix}

u = f

y = p_1+p_2

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -k/m_1 & 0 & -b/m_1 & b/m_1 \\ 0 & 0 & b/m_2 & -b/m_ 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1/m_2 \end{bmatrix}u \\ y=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

2. Realización a partir de modelos SISO

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{b_ks^k+\cdots+b_1s+b_0}{s^{k+1}+a_ks^k+\cdots+a_1s+a_0}

\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_k & x_{k+1} \end{bmatrix}^\top

sys = ss(G)

Realización canónica controlable

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_k \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}u\\ y = \begin{bmatrix} b_0 & b_1 & b_2 & \cdots & b_k\end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

Ejemplo: el mismo circuito

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1/LC & -R/L \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u\\ y = \begin{bmatrix} 0 & R/L \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

G(s)=\dfrac{V_o(s)}{V_i(s)}=\dfrac{(R/L)s}{s^2+(R/L)s+(1/LC)}

Realización canónica observable

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}= \begin{bmatrix} -a_k & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -a_{k-1} & 0 & \ddots & & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ -a_1 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} b_k \\ b_{k-1} \\ \vdots \\ b_1 \\ b_0 \end{bmatrix}u\\ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

Ejemplo: el mismo circuito

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}= \begin{bmatrix} -R/L & 1 \\ -1/LC & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} R/L \\ 0 \end{bmatrix}u\\ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

G(s)=\dfrac{V_o(s)}{V_i(s)}=\dfrac{(R/L)s}{s^2+(R/L)s+(1/LC)}

Realización mínima

tanto controlable como observable

G = tf(...);
sys = ss(A, B, C, D);

sysr = minreal(sys)
sysr = ss(G)

¿Múltiples respuestas?

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}= \begin{bmatrix} -R/L & 1 \\ -1/LC & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} R/L \\ 0 \end{bmatrix}u\\ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1/LC & -R/L \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u\\ y = \begin{bmatrix} 0 & R/L \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 0 & 1/C \\ -1/L & -R/L \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1/L \end{bmatrix}u \\ y=\begin{bmatrix} 0 & R \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

¿Múltiples respuestas?

distintas representaciones corresponden al mismo sistema si generan la misma función de transferencia

\mathbf{G}(s)=\mathbf{C}\left(s\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D} \qquad \in\mathbb{R}^{p \times m}

G = tf(sys)

Ejemplo: desde una EDO lineal

y^{(3)}-2\ddot{y}-5\dot{y}-6y=u

Ejemplo: desde una EDO lineal

y^{(3)}-2\ddot{y}-5\dot{y}-6y=u

\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y \\ \dot{y} \\ \ddot{y} \end{bmatrix}

\mathbf{u}=u

\mathbf{y}=y=x_1

Ejemplo: desde una EDO lineal

y^{(3)}-2\ddot{y}-5\dot{y}-6y=u

\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y \\ \dot{y} \\ \ddot{y} \end{bmatrix}

\mathbf{u}=u

\mathbf{y}=y=x_1

\dot{x}_3-2x_3-5x_2-6x_1=u

\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dot{y} \\ \ddot{y} \\ y^{(3)} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_2 \\ x_3 \\ 6x_1+5x_2+2x_3+u \end{bmatrix}

\dot{x}_3-2x_3-5x_2-6x_1=u

\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 6 & 5 & 2 \end{bmatrix} \mathbf{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u

y=x_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}

puede obtenerse una interpretación intuitiva del estado desde el diagrama de bloques de la EDO

las salidas de los integradores conforman al estado \(\mathbf{x}\)

x_1

x_2

x_3

puede obtenerse una interpretación intuitiva del estado desde el diagrama de bloques de la EDO

3. A partir de sistemas no lineales

Linealización

próximas clases

Addendum:

un modelo más general pero sin llegar a no linealidades

¿Entradas y salidas?

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

caso especial

sistema LTI en el espacio de estados

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

caso general

sistema lineal no autónomo o sistema LTV en el espacio de estados

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}(t)\mathbf{x}+\mathbf{B}(t)\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}(t)\mathbf{x}+\mathbf{D}(t)\mathbf{u} \\ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

IE3041 - Lecture 2 (2025)

By Miguel Enrique Zea Arenales

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