Introducción al control de modelo predictivo
IE3041 - Sistemas de Control 2
El "PID" del control moderno
Motivación
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
Motivación
\begin{aligned}
& \displaystyle\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \ \ \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
Motivación
\begin{aligned}
& \displaystyle\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \ \ \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
encuentra la trayectoria óptima de \(\mathbf{x}_0\) a \(\mathbf{x}_f\)
Motivación
\begin{aligned}
& \displaystyle\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \ \ \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
encuentra la trayectoria óptima de \(\mathbf{x}_0\) a \(\mathbf{x}_f\)
(open loop)
Motivación
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
¿Qué ocurre si el sistema no puede* ejecutar perfectamente el plan?
\mathbf{x}_1
Motivación
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
¿Qué ocurre si el sistema no puede* ejecutar perfectamente el plan?
- perturbaciones.
- errores en el modelado | estimación.
- error en la condición inicial.
\mathbf{x}_1
Motivación
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
idea principal detrás del Control de Modelo Predictivo (MPC):
\mathbf{x}_1
Motivación
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
\mathbf{x}_1
recalcular la trayectoria óptima
\begin{aligned}
& \displaystyle\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_1}^{t_f} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_f\right) \\
& \ \ \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
idea principal detrás del Control de Modelo Predictivo (MPC):
Motivación
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
\mathbf{x}_1
recalcular la trayectoria óptima
(en lugar de estabilizar la original)
\begin{aligned}
& \displaystyle\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_1}^{t_f} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_f\right) \\
& \ \ \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
idea principal detrás del Control de Modelo Predictivo (MPC):
Motivación
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_f
\mathbf{x}_1
recalcular la trayectoria óptima
(en lugar de estabilizar la original)
\begin{aligned}
& \displaystyle\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_1}^{t_f} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_f\right) \\
& \ \ \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
idea principal detrás del Control de Modelo Predictivo (MPC):
"feedback" mediante el recálculo de la trayectoria óptima
Motivación
hacer constantemente el recálculo de la trayectoria óptima
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
Control de Modelo Predictivo
hacer constantemente el recálculo de la trayectoria óptima
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
puede llegar a ser computacionalmente imposible (o ineficiente en el peor de los casos)
Control de Modelo Predictivo
por lo tanto, el MPC propone
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{T_p} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
Control de Modelo Predictivo
por lo tanto, el MPC propone
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{T_p} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
\(<< t_f\) horizonte de predicción
Control de Modelo Predictivo
por lo tanto, el MPC propone
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{T_p} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}^\star(t\le T_c)
\(<< t_f\) horizonte de predicción
Control de Modelo Predictivo
por lo tanto, el MPC propone
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{T_p} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}^\star(t\le T_c)
\(<< t_f\) horizonte de predicción
horizonte de control (pequeño)
Control de Modelo Predictivo
por lo tanto, el MPC propone
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{T_p} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}(\tau), \mathbf{u}(\tau) \right)d\tau + \varphi\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_f\right) \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\end{aligned}
\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}^\star(t\le T_c)
\(<< t_f\) horizonte de predicción
horizonte de control (pequeño)
todo bajo un planteamiento en tiempo discreto
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
k+N_p-1
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
k+N_p-1
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
k+N_p-1
k+N_c
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
k+N_p-1
k+N_c
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
k+N_p-1
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
k+N_p-1
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
k+N_p-1
k+N_c
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
k+N_p-1
k+N_c
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
se va "jalando" el horizonte de predicción y sólo se toman unas pocas muestras (sólo 1 en el mejor de los casos) de la solución
Control de Modelo Predictivo
t
t
\mathbf{x}(t)
\mathbf{u}(t)
k
se va "jalando" el horizonte de predicción y sólo se toman unas pocas muestras (sólo 1 en el mejor de los casos) de la solución
Receding Horizon Control (RHC)
Control de Modelo Predictivo
Control de Modelo Predictivo
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star_k = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u}_k,\mathbf{x}_k} \displaystyle\sum_{k=0}^{N_p-1} \ell\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k \right) \\
& \ \quad \textrm{s.t.} \quad \mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{F}\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k\right) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_k) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{u}_k \in \mathcal{U}, \ \forall k \in [0,N_p-1] \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_k \in \mathcal{X}, \ \forall k \in [0,N_p]
\end{aligned}
Control de Modelo Predictivo
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star_k = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u}_k,\mathbf{x}_k} \displaystyle\sum_{k=0}^{N_p-1} \ell\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k \right) \\
& \ \quad \textrm{s.t.} \quad \mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{F}\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k\right) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_k) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{u}_k \in \mathcal{U}, \ \forall k \in [0,N_p-1] \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_k \in \mathcal{X}, \ \forall k \in [0,N_p]
\end{aligned}
\(\approx\mathrm{ForwardEuler}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\) ó
\(\mathrm{RK4}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\)
Control de Modelo Predictivo
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star_k = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u}_k,\mathbf{x}_k} \displaystyle\sum_{k=0}^{N_p-1} \ell\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k \right) \\
& \ \quad \textrm{s.t.} \quad \mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{F}\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k\right) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_k) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{u}_k \in \mathcal{U}, \ \forall k \in [0,N_p-1] \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_k \in \mathcal{X}, \ \forall k \in [0,N_p]
\end{aligned}
inicio del horizonte de predicción en el tiempo actual de muestreo
\(\approx\mathrm{ForwardEuler}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\) ó
\(\mathrm{RK4}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\)
Control de Modelo Predictivo
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star_k = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u}_k,\mathbf{x}_k} \displaystyle\sum_{k=0}^{N_p-1} \ell\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k \right) \\
& \ \quad \textrm{s.t.} \quad \mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{F}\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k\right) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_k) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{u}_k \in \mathcal{U}, \ \forall k \in [0,N_p-1] \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_k \in \mathcal{X}, \ \forall k \in [0,N_p]
\end{aligned}
inicio del horizonte de predicción en el tiempo actual de muestreo
\(\approx\mathrm{ForwardEuler}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\) ó
\(\mathrm{RK4}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\)
costo de parqueo
Control de Modelo Predictivo
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star_k = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u}_k,\mathbf{x}_k} \displaystyle\sum_{k=0}^{N_p-1} \ell\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k \right) \\
& \ \quad \textrm{s.t.} \quad \mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{F}\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k\right) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_k) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{u}_k \in \mathcal{U}, \ \forall k \in [0,N_p-1] \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_k \in \mathcal{X}, \ \forall k \in [0,N_p]
\end{aligned}
inicio del horizonte de predicción en el tiempo actual de muestreo
\(\approx\mathrm{ForwardEuler}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\) ó
\(\mathrm{RK4}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\)
costo de parqueo
obviar si no se está empleando colocación
Control de Modelo Predictivo
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star_k = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u}_k,\mathbf{x}_k} \displaystyle\sum_{k=0}^{N_p-1} \ell\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k \right) \\
& \ \quad \textrm{s.t.} \quad \mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{F}\left(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k\right) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_k) \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{u}_k \in \mathcal{U}, \ \forall k \in [0,N_p-1] \\
& \ \ \quad \qquad \mathbf{x}_k \in \mathcal{X}, \ \forall k \in [0,N_p]
\end{aligned}
inicio del horizonte de predicción en el tiempo actual de muestreo
\(\approx\mathrm{ForwardEuler}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\) ó
\(\mathrm{RK4}\left\{\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\Delta t\right\}\)
costo de parqueo
obviar si no se está empleando colocación
\mathbf{u}_k=\left\{\mathbf{u}^\star_0, \cdots, \mathbf{u}^\star_{N_c-1}\right\}
Control de Modelo Predictivo
en resumen, la estrategia del MPC consiste en:
- predicción.
- optimización online.
- corrimiento del horizonte de predicción.
Control de Modelo Predictivo
- puede aplicarse de forma general a sistemas MIMO no lineales.
- considera restricciones en las entradas y los estados en su planteamiento.
- la predicción permite tomar acción anticipadamente.
- es aproximadamente la solución al problema de control óptimo.
- empleado en aplicaciones industriales desde mediados de los 70s.
Ventajas del MPC
- puede aplicarse de forma general a sistemas MIMO no lineales.
- considera restricciones en las entradas y los estados en su planteamiento.
- la predicción permite tomar acción anticipadamente.
- es aproximadamente la solución al problema de control óptimo.
- empleado en aplicaciones industriales desde mediados de los 70s.
Ventajas del MPC
- ¿Cuándo es capaz el MPC de estabilizar el sistema?
- ¿Qué tan bueno es el rendimiento del MPC?
- ¿Qué tan largos deben ser los horizontes de predicción y control?
- ¿Cómo puede implementarse numéricamente?
Principales problemas del MPC
- ¿Cuándo es capaz el MPC de estabilizar el sistema?
- estabilidad, factibilidad de la optimización.
- ¿Qué tan bueno es el rendimiento del MPC?
- optimización online, velocidad de la dinámica, tipo de problema de optimización.
- ¿Qué tan largos deben ser los horizontes de predicción y control?
- ¿Cómo puede implementarse numéricamente?
- recursos en Canvas.
Principales problemas del MPC
Herramientas de software
- Model Predictive Control Toolbox.
- ACADO Toolkit.
- acados.
- APMonitor | GEKKO.
- CasADi.
- Entre otros.
Algunas aplicaciones
Algunas aplicaciones
Algunas aplicaciones
Algunas aplicaciones
IE3041 - Lecture 15 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
