Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Tópico 2
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
Objetivos
Definir os quadros de referência.
Medir a velocidade de objetos em diferentes quadros de referência.
Estudar a relatividade do movimento.
Definir os quadros de referência inerciais e não inerciais.
Conceituar o princípio da relatividade do movimento.
Medir o momento linear e a energia cinética em diferentes quadros de referência.
Definir os quadros de referência de momento linear nulo.
Relatividade do movimento
Fonte: Frames of reference, Professor Patterson Hume & Donald Ivey. University of Toronto: https://archive.org/details/frames_of_reference
Fonte: Original no Youtube: https://youtu.be/bJMYoj4hHqU
Relatividade do movimento
Devemos especificar um eixo de referência ao longo do qual o movimento ocorre e uma origem sempre antes de falarmos sobre o movimento.
O eixo e a origem são chamados de quadro de referência.
x
y
z
Estudamos o movimento de carros ao longo de uma pista de baixo atrito, coletando nossos dados usando uma régua afixada no trilho.
Medimos no quadro de referência em repouso em relação à superfície da Terra
(quadro de referência da Terra).
x
y
z
Relatividade do movimento
As posições dos dois carros são medidas com a régua A, que é afixada ao trilho (referencial da Terra).
Em relação à régua A fixa em relação à Terra:
O carrinho 1 está em repouso e sua posição permanece fixa em 12,5 cm.
O carrinho 2 está se movendo para a direita e sua posição na régua A muda de 0 para 8,0 cm.
O carrinho 1 está em repouso e o carrinho 2 está a uma velocidade constante.
1
2
A
1
2
A
1
2
A
1
2
A
1
2
A
Ambos, movimentos em relação à régua A.
Relatividade do movimento
O movimento em relação ao referencial da régua A (referencial da Terra)
Em relação à régua A: \(v_{1A} = 0\) e \(v_{2A} = +2,0\) cm/quadro.
1
2
A
1
2
A
1
2
A
1
2
A
1
2
A
Q1
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Relatividade do movimento
As posições dos dois carros são medidas com a régua B, que é afixada ao carrinho 2 (referencial do carrinho 2).
Em relação à régua B fixa no carrinho 2:
O carrinho 2 está em repouso e sua posição permanece fixa em 0 cm.
O carrinho 1 está se movendo para a esquerda e sua posição na régua B muda de 12,5 para 4,5 cm.
1
2
B
1
2
B
1
2
B
1
2
B
1
2
B
O carrinho 2 está em repouso e o carrinho 1 está a uma velocidade constante.
Ambos, movimentos em relação à régua B.
Relatividade do movimento
1
2
B
1
2
B
1
2
B
1
2
B
1
2
B
Em relação à régua B: \(v_{1B} = -2,0\) cm/quadro e \(v_{2B} = 0\).
O movimento em relação ao referencial da régua B (referencial do carro 2)
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Relatividade do movimento
O movimento é um conceito relativo.
Para o carrinho 2, temos que \(\vec v_{2A} = \vec v_{2B}+\vec v_{BA}\):
+2,0 \text{ cm/quadro} = 0+(\text{+2,0 cm/quadro) }.
A velocidade de um objeto \(\vec v_{OA}\) determinada a partir das leituras na régua A é igual a soma da velocidade do objeto \(\vec v_{OB}\) em relação à régua B e \(\vec v_{BA}\) da régua B em relação à régua A:
\vec v_{OA} = \vec v_{OB} + \vec v_{BA}
Para o carrinho 1, temos que \(\vec v_{1A} = \vec v_{1B}+\vec v_{BA}\):
0 = -2,0 \text{ cm/quadro} + \text{(+2,0 cm/quadro)}
A
B
A
B
, O = 1, 2
O movimento é relativo. Depende do observador.
Mas é possível descrever o movimento independentemente de quem observa um fenômeno?
Fonte: https://youtu.be/08LS9CEB9qI
Relatividade do movimento
Relatividade do movimento
A velocidade vetorial do Passageiro em relação ao observador posicionado no Solo é \(\vec v_{PS}\). Ela é a soma vetorial da velocidade do Passageiro em relação ao Trem, \(\vec v_{PT}\), com a velocidade do Trem em relação ao Solo, \(\vec v_{TS}\):
\vec v_{PS}=\vec v_{PT}+\vec v_{TS}
v_{PS}=+2,0\text{ m/s}+9,0\text{ m/s}
v_{PS}=+11,0\text{ m/s}
Se o passageiro estivesse caminhando em direção à parte de trás do trem:
v_{PS}=-2,0\text{ m/s}+9,0\text{ m/s}
v_{PS}=+7,0\text{ m/s}
Observe que todas as velocidades são constantes. Seja qual for o referencial.
objeto 1
Referencial A
Referencial B
\vec v_{OA} = \vec v_{OB} + \vec v_{BA}
Passageiro (em movimento em relação ao observador)
Trem (movimento em relação ao observador)
Observador (em repouso em relação ao solo)
Parece maior
Parece menor
Relatividade do movimento
Para distinguir quantidades medidas por diferentes observadores, adicionamos um subscrito de letras maiúsculas para indicar o referencial e o observador.
\vec v_{1H}
A velocidade do Carro 1 em relação ao Homem.
\vec v_{MH}
A velocidade Mulher em relação ao Homem.
Como \(\vec v_{M1} = \vec 0\), temos que: \(\vec v_{MH} = \vec v_{1H}\). A velocidade da mulher em relação ao homem é igual à velocidade do carro 1 em relação ao homem.
\vec v_{MH}=\vec v_{M1}+\vec v_{1H}
A velocidade vetorial da Mulher em relação ao Homem posicionado no solo é a soma vetorial:
\vec v_{M1}
A velocidade Mulher em relação ao Carro 1.
Relatividade do movimento
Para distinguir quantidades medidas por diferentes observadores, adicionamos um subscrito de letras maiúsculas para indicar o referencial e o observador.
\vec v_{2M}
A velocidade do Carro 2 em relação a Mulher no carro 1.
\vec v_{HM}
A velocidade do Homem em relação Mulher no carro 1.
Como \(\vec v_{H2} = \vec 0\), temos que: \(\vec v_{HM} = \vec v_{2M}\). A velocidade do homem em relação à mulher é igual a velocidade do carro 2 em relação à mulher.
\vec v_{HM}=\vec v_{H2}+\vec v_{2M}
A velocidade vetorial do Homem em relação à Mulher posicionada no carro 1 é a soma vetorial:
\vec v_{H2}
A velocidade do Homem em relação ao Carro 2.
Relatividade de Galileu
Dada uma lei física em um certo referencial, qual será sua forma em outro referencial, isto é, como a lei física se transforma ao passarmos de um referencial para outro?
y
x
y'
x'
No início do movimento (origem):
As origens coincidem: \(x_{Pe} = x_{Ee} = 0 \) e \(y_{Pe} = y_{Ee} = 0\).
Os relógios estão sincronizados: \(t_{Pe} = t_{Ee} = 0 \).
P
E
Podemos estudar as leis físicas segundo:
- cinemática;
- dinâmica;
- momento;
- energia.
Vamos nos concentrar apenas na cinemática.
Relatividade de Galileu
Dado o movimento em um referencial, qual será a sua forma em outro referencial, isto é, como a lei física se transforma ao passarmos de um referencial para outro?
y
x
\Delta x_{PE}
As medidas do evento (giz lançado no ar).
Professor: \(x_{Pe}\) e \(t_{Pe}\).
Estudante: \(x'_{Ee}\) e \(t_{Ee}\).
x_{pE}
y'
x'
y
x
x'_{Ee}
Após o deslocamento relativo dos referenciais:
\(t_{Ee}\) = \(t_{Pe}\) = \(t\).
O tempo é absoluto.
x_{Pe}
x_{Pe} = \Delta x_{PE} + x'_{Ee}
Relatividade de Galileu
As equações de transformação de Galileu.
y
x
x_{Pe}
\Delta x_{PE}
x'_{Ee}
y'
x'
x_{Pe} = \Delta x_{PE}+
x'_{Ee}
A posição do professor em relação ao evento é igual ao deslocamento relativo do professor em relação ao estudante mais a posição do estudante em relação ao evento.
O deslocamento relativo se dá em um intervalo de tempo \(\Delta t = t_e-0\). Assim,
\Delta x_{PE} = v_{PE}(t_e-0)
A equação da relatividade de Galileu fornece:
x_{Pe} = v_{PE}\,t_e
+
x'_{Ee}
Relatividade de Galileu
A partir da relatividade de Galileu:
y
x
x_{Pe}
\vec v_{PE}t
x'_{Ee}
y'
x'
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
x_{Pe} = v_{PE}\,t_e
+
x'_{Ee}
v_{Pe} = v_{PE}
+
v'_{Ee}
A velocidade do evento (e) em relação ao professor (P) é igual à velocidade do evento (e) em relação ao professor (E) mais a velocidade relativa dos referenciais (PE).
\vec r_{Ee} = \vec r_{Pe} - \Delta \vec r_{PE}
referencial do estudante
referencial do professor
Generalizando, essas equações são reescritas (se preferir também), como:
\vec v_{Ee} =
\vec v_{Pe}-
\vec v_{PE}
Relatividade de Galileu
A partir da relatividade de Galileu:
y
x
\vec v_{Ae}
\vec v_{AB}
\vec r_{Be}
y'
x'
A variação é:
\vec v_{Ae} = \vec v_{AB}
+
\vec v_{Be}
\Delta \vec v_{Ae} =
\vec v_{Ae,f} -
\vec v_{Ae,i}
=
(
\vec v_{AB} +
\vec v_{Be,f}
) -
(
\vec v_{AB} +
\vec v_{Be,i}
)
=
\vec v_{Be,f} -
\vec v_{Be,i} =
\Delta \vec v_{Be}
As variações na velocidade do evento (giz) são as mesmas nos dois quadros de referência que se movem a uma velocidade relativa constante.
A aceleração é:
\vec a_{Ao} \equiv
\lim_{\Delta t\rightarrow 0}
\frac{\Delta \vec v_{Bo}}{\Delta t} \equiv
\vec a_{Bo}
Os dois observadores em movimento com velocidade constante medem a mesma aceleração.
Relatividade de Galileu
A partir da relatividade de Galileu:
y
x
\vec v_{Ae}
\vec v_{AB}
\vec r_{Be}
y'
x'
\vec v_{Ae} = \vec v_{AB}
+
\vec v_{Be}
Qualquer referencial que se desloca com velocidade constante em relação a ele será também um referencial inercial.
As leis físicas conservam sua forma quando transformadas porque os referenciais são inerciais.
\vec r_{Ae} =
\vec r_{AB} +
\vec r_{Be}
\vec a_{Ae} =
\vec a_{Be}
Os dois observadores em movimento com velocidade constante medem a mesma aceleração.
Relatividade de Galileu
Por exemplo, se um passageiro caminha com velocidade de 5 km/h no corredor de um trem que se deslocada com velocidade de 50 km/h, em relação à estação do trem. Qual será a velocidade do passageiro em relação a essa mesma estação?
Referencial em repouso: A estação (e).
Referencial em movimento: O trem (t). \(v_{et} = 50\) km/h.
Evento: O passageiro (p) caminhando no trem (t). \(v'_{tp} = 5\) km/h.
referencial do passageiro
referencial do observador
v'_{tp}
=
v_{ep}
v_{et}
-
Se o passageiro caminha no sentido do movimento do trem:
Se o passageiro caminha no sentido contrário ao movimento do trem:
v_{ep} = v'_{tp}+v_{et}=55\text{ km/h}
v_{ep} = -v'_{tp}+v_{et}=45\text{ km/h}
O movimento é um conceito relativo.
No último quadro de referência descobrimos que o passageiro se move a uma velocidade constante.
Se um objeto se move a uma velocidade constante no referencial da Terra, seu movimento observado a partir de qualquer referencial que se mova a uma velocidade constante em relação à Terra também está a uma velocidade constante.
As velocidades não necessariamente são as mesmas, mas são constantes.
Relatividade de Galileu
Quando estamos nos movendo à velocidade constante em relação à Terra, as coisas ao nosso redor se comportam da mesma maneira que se comportam quando estamos em repouso no chão.
A superfície do café na caneca não será diferente se você o toma sentado a sua mesa fixa à Terra ou em relação a um avião que viaja a 260 m/s.
A pessoa tomando o espumone o faz sentado à mesa de uma cafeteria ou sentado na poltrona de um avião que se move à velocidade de cruzeiro?
Nessa situação, ao analisar a superfície do espume você não é capaz de dizer se está em um avião que se move a 260 km/h ou em um carro a 90 km/h ou mesmo sentado à mesa de uma cafeteria.
Relatividade de Galileu
Se o qualquer referencial que se mova a uma velocidade constante em relação à Terra é chamado de referencial inercial. Podemos dizer se um referencial é inercial ou não, testando se a lei da inércia é válida ou não:
Em um referencial inercial, qualquer objeto isolado que está em repouso permanece em repouso e qualquer objeto isolado em movimento continua se movendo a uma velocidade constante.
Relatividade de Galileu
O princípio da relatividade
As leis do universo são as mesmas em todos os referenciais inerciais, movendo-se a uma velocidade constante entre si.
Uma conseqüência do princípio da relatividade é que não é possível deduzir das medições realizadas inteiramente em um referencial o movimento desse referencial em relação a outros referenciais.
\vec v=\vec 0
\vec v=\vec c
As leis do universo são as mesmas em todos os referenciais inerciais, e não existe um referencial que esteja "em repouso" em algum sentido absoluto.
Relatividade de Galileu
Fonte: https://youtu.be/jYMU6bn5GHY
Quadros de referenciais não inerciais
Enquanto o vagão estiver em uma superfície horizontal e continuar em linha reta a uma velocidade constante, a bola permanecerá em repouso.
De acordo com um observador em repouso no referencial da Terra, a bola resiste a ser acelerada para a frente devido à sua inércia e ela não consegue acompanhar o carro em aceleração.
\vec a_{VT}=\vec 0
T
Quando o motorista de repente acelera para a frente, no entanto, tudo no carro tomba para trás, com a bola provavelmente fazendo uma inclinação em direção à traseira do vagão.
\vec a_{VT}
Quadros de referenciais não inerciais
Os quadros de referência nos quais a lei da inércia não se aplica são chamados de quadros de referência não inerciais.
Visto de dentro do vagão, a bola isolada de repente acelera para trás e, portanto, a lei da inércia não se mantém no quadro de referência do carro em aceleração
Fonte: https://youtu.be/mJnS5T69cMk
Quadros de referenciais não inerciais
A física fica mais complicada em quadros de referências não inerciais que giram.
Fonte: https://youtu.be/KDOLQ6P0vog
Você seria capaz de fazer uma pesquisa e obter essas equações?
Ponto de Verificação 6.8
Um corredor corre sobre uma esteira cujo cinto se move a \(v_{TBx}\) = + 2,0 m/s em relação à Terra. Considere que a origem do referencial da Terra e do referencial B se movendo junto com a superfície superior do cinto coincidirem em t = 0.
(a) Qual é a posição do corredor no referencial do cinto em t = 10 s?
(b) Use abaixo para mostrar que a medição da posição do corredor por um observador da Terra é \(r_{TJx}\) = 0 em todos os instantes.
Ponto de Verificação 6.9
Em um trem que segue para o norte a 3,1 m/s em relação à Terra, um passageiro carregando uma mala caminha para a frente no corredor a 1,2 m/s em relação ao trem. Uma aranha se arrasta ao longo do fundo da mala a 0,5 m/s para o sul em relação à mala. Qual é a velocidade da aranha em relação à Terra?
Exemplo 6.6
Você está dirigindo a 25 m/s em uma estrada reta e horizontal quando um caminhão que percorre 30 m/s na mesma direção ultrapassa você. Deixe a direção x positiva apontar na direção da viagem e deixe as origens dos referenciais fixados ao seu carro e ao caminhão coincidirem no instante em que o caminhão o ultrapassar. (a) Qual é a velocidade do seu carro, medida por alguém no caminhão? (b) Qual é a velocidade do caminhão em relação ao seu carro? (c) Qual é a posição do seu carro, medida por alguém no caminhão 60 s depois de ultrapassá-lo?
FM - Tópico 2
By Ronai Lisboa
FM - Tópico 2
Relatividade do movimento. Quadros de referência. O princípio da relatividade de Galileu.
