Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Tópico 1
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
BCT - ECT - UFRN
Objetivos
Aplicar o conceito de vetores à física.
Revisar o conceito de vetores e suas operações.
Vetor
Como escrever o vetor \(\vec v\) em função das componentes?
Vetor
Existem algumas operações matemáticas definidas para vetores.
Qualquer vetor \(\vec A\) pode ser decomposto em vetores componentes \(A_x\) e \(A_y\) ao longo dos eixos de um conjunto convenientemente escolhido de eixos perpendiculares, chamados de sistema de coordenadas retangulares.
Fonte: https://phet.colorado.edu
Revisão: Decomposição de vetores
\vec A
\vec A
A_y\hat j
A_x\hat i
y
x
Vetor
Componentes de um vetor é vetor?
Qual é o comprimento do vetor ao longo do eixo x?
Fonte: https://www.vecteezy.com\theta = 30^o
x
y
\vec r = 5 \hat r
x = 4,33\text{ u.m.}
Qual é o comprimento do vetor ao longo do eixo y?
y=2,50\text{ u.m.}
x=r\cos(\theta)
y=r\sin(\theta)
Vetor
Como posso representar o vetor?
Utilizando as componentes e os vetores unitários, \(\hat i, \hat j\)
\theta = 30^o
x
y
\vec r = 5 \hat r
Utilizando o módulo do vetor vezes o vetor unitário do vetor:
\vec r = (4,33\hat i +2,50 \hat j) \text{ u.m.}
\vec r =5 \,\hat r \text{ u.m.}
\angle 30^o
\theta = \tan^{-1}\frac{r_y}{r_x}
r =\sqrt{r_x^2+r_y^2}
\hat r =\frac{\vec r}{\hat r}
Vetor
Um vetor posição é um exemplo simples de grandeza física vetorial.
Esse é um sistema de coordenadas dextrogiro, que segue a regra da “mão direita”:
x
z
y
y
x
z
Uma posição no espaço 3D pode ser considerada um vetor, chamado vetor posição, que aponta da origem até aquela posição.
\vec r = (
4\hat i +
3\hat j +
2 \hat k)\text{ m}
\vec r = (
r_x\hat i +
r_y\hat j +
r_z \hat k)\text{ m}
As componentes \(r_x, r_y, r_z\) não são vetores.
\vec b = (
4\hat i +
3\hat j +
2 \hat k)\text{ m}
\vec b = ?
As componentes especificam os deslocamentos da cauda à ponta: \(r_x = b_x = (x-x_0) = (4-0)\) m.
Vetor
Existem algumas operações matemáticas definidas para vetores.
Multiplicar e dividir por um escalar:
\vec p = m\vec v
\vec v = \frac{\vec p}{m}
A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a magnitude do vetor e mesmo seu sentido, mas não a direção.
m=1\text{ kg}
\vec v=(2\hat i + 3\hat j + 1 \hat k)\text{ m/s}
\vec p=(2\hat i + 3\hat j + 1 \hat k)\text{ kg.m/s}
m=2\text{ kg}
\vec v=(2\hat i + 3\hat j + 1 \hat k)\text{ m/s}
\vec p=(4\hat i + 6\hat j + 2 \hat k)\text{ kg.m/s}
Vetor
Existem algumas operações matemáticas definidas para vetores.
A magnitude de um vetor:
r =|\vec r|
r =\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}
Qual é a distância da ponta desse vetor até a origem?
r =\sqrt{4^2+3^2+2^2} \text{ m}
r =5,39\text{ m}
A magnitude de um vetor é sempre um número positivo. A magnitude de um vetor é um único número, e não uma trinca de números. É também um escalar, e não um vetor.
\Rightarrow
Se \(\vec v = (2\hat i -3\hat j + 5\hat k) \) m/s, quanto vale \(\left|-\frac{1}{2}\vec v\right|\)?
Vetor
Existem algumas operações matemáticas definidas para vetores.
O valor unitário que define a direção do vetor:
\hat r = \frac{\vec r}{r}
Um vetor unitário é um vetor de magnitude 1, que aponta numa direção e num sentido quaisquer.
\vec r_1 = (1\hat i + 1\hat j + 1 \hat k) \text{ m}
não é unitário
r_1 =\sqrt{ (1^2 + 1^2 + 1 ^2 )} =1,73\neq 1
\vec r_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\hat i + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat j + \frac{1}{\sqrt{3}} \hat k \right) \text{ m}
é unitário
r_1 =\sqrt{ (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}} ^2 )} =1
Cada componente de um vetor unitário é menor ou igual a 1.
Se \(\vec v = (-22,3\hat i + 0,4\hat j - 19,5\hat k) \) m/s, quanto vale \(\hat v\) ?
Escreva \(\vec v = v \,\hat v\) m/s. Você consegue explicar porque a multiplicação por um escalar não muda a direção do vetor?
Nem todos os vetores unitários apontam ao longo de um eixo.
Vetor
Existem algumas operações matemáticas definidas para vetores.
Somar vetores:
\vec F_r =\vec F_1 + \vec F_2
\vec F_1 = F_{1x} \hat i + F_{2y} \hat j
\vec F_2 = F_{2x} \hat i + F_{2y} \hat j
É particularmente útil ao adicioná-los ou subtraí-los:
\vec F_r = (F_{1x}+F_{2x})\hat i + (F_{1y}+F_{2y})\hat j
Soma:
F_x = F_{1x} + F_{2x}
F_y = F_{1y} + F_{2y}
\vec F_r = F_x\hat i + F_y\hat j
x
y
\vec F_1
F_{1x} \hat i
F_{1y} \hat j
\vec F_2
F_{2x} \hat i
F_{2y} \hat j
\vec F_r
F_{x}\hat i
F_{y} \hat j
\vec F_r = \vec F_1 + \vec F_2
=+3
=+4
\vec F_r = +4\hat i +3\hat j
1
1
Vetor
Existem algumas operações matemáticas definidas para vetores.
Subtrair vetores:
\vec F_r =\vec F_2 - \vec F_1
\vec F_1 = F_{1x} \hat i + F_{1y} \hat j
\vec F_2 = F_{2x} \hat i + F_{2y} \hat j
É particularmente útil ao adicioná-los ou subtraí-los:
\Delta \vec F = (F_{2x}-F_{1x})\hat i + (F_{2y}-F_{1y})\hat j
Diferença:
\Delta F_x = F_{2x} - F_{1x}
\Delta F_y = F_{2y} - F_{1y}
\Delta \vec F = \Delta F_x\hat i + \Delta F_y\hat j
x
y
\vec F_1
F_{1x} \hat i
F_{1y} \hat j
\vec F_2
F_{2x} \hat i
F_{2y} \hat j
\Delta \vec F
\Delta F_x\hat i
\Delta F_y \hat j
\vec F_1
\Delta \vec F =\vec F_2 - \vec F_1
=-2
=+1
\Delta \vec F = -2\hat i +1\hat j
Vetor
Existem algumas operações matemáticas definidas para vetores.
Produto escalar entre dois vetores:
W =\vec F\cdot \vec r
\theta_1
x
y
\vec r
\vec F
\theta_2
O resultado é um número (escalar).
W = F_x r_x + F_y r_y
W = F \cos(\beta) \,r
W = (F_x \hat i + F_y \hat j)\cdot (r_x \hat i + r_y\hat j)
\hat i\cdot \hat i =1
\hat i\cdot \hat j =0
\beta
F \cos \beta
W = F r \cos(\beta)
Vetor
Existem algumas operações matemáticas definidas para vetores.
\theta_1
x
y
\vec r
\vec F
\theta_2
z
O resultado é um vetor.
\vec \tau_0 =\begin{vmatrix}
\hat i & \hat j & \hat k \\
r_x & r_y & r_z \\
F_x & F_y & F_z \\
\end{vmatrix}
\vec \tau_0 = F \sin(\beta) \,r
\vec \tau_0 = (F_x \hat i + F_y \hat j)\times (r_x \hat i + r_y\hat j)
\hat i\times \hat j = \hat k
\hat j\times \hat k =\hat i
\beta
\vec \tau_0 = F r \sin(\beta)
Produto vetorial entre dois vetores:
\vec \tau_0 =\vec r\times \vec F
\hat k\times \hat i =\hat j
\vec \tau_0
Vetores, trajetórias e games
Vetores são amplamente utilizados em games, mas com muito auxílio da álgebra linear e vetorial.
Vetores, trajetórias e games
Trajetórias 2D
Os gráficos da posição verus tempo das funções movimento nos eixos x, y e z:
x(t) = 0
y(t) = t^2
z(t) = t^2+t^3
A trajetória da partícula é representada pela equação: \(x+y+z =0\) parametrizada em \(t\).
z(t) = y^2+y^{3/2}
t=\sqrt{y}
Vetores, trajetórias e games
Trajetórias 3D
Os gráficos da posição verus tempo das funções movimento nos eixos x, y e z:
x(t) = \sin(t)
y(t) = \cos(t)
z(t) =\frac{t}{5}
A trajetória da partícula é representada pela equação: \(x+y+z =0\) parametrizada em \(t\).
z(t) =-\sin(5z)+\cos(5z)
t=5z
Vetor
Existem algumas operações matemáticas definidas para vetores.
Multiplicar e dividir por um escalar:
\vec p = m\vec v
\vec v = \frac{\vec p}{m}
A magnitude de um vetor:
r =|\vec r|
r =\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}
O valor unitário que define a direção do vetor:
\hat r = \frac{\vec r}{r}
Somar vetores:
\vec F_r =\vec F_1 + \vec F_2
Subtrair vetores:
\vec F_r =\vec F_1 - \vec F_2
Derivar um vetor:
\vec a =\frac{d\vec v}{dt}
Produto escalar entre dois vetores:
W =\vec F\cdot d\vec r
Produto vetorial entre dois vetores:
\vec \tau_0 =\vec r\times \vec F
Vetores serão úteis no estudo da física
Exemplo 1
Se cada unidade principal da grade na figura corresponder a 1 unidade, especifique a localização do ponto P em termos de suas coordenadas x e y em cada um dos três sistemas de coordenadas.
A_x \hat i
A_y \hat j
\vec A
y
x
\vec A
x'
y'
A_x \hat i
A_y \hat j
x''
\vec A = A_x\hat i
y''
O vetor \(\vec A\) é o mesmo em qualquer referencial, mas os componentes \(A_x,A_y\) dependem da escolha desse referencial.
O vetor sempre terá o mesmo valor seja qual for o referencial, mas não os componentes!
A_x = 4,0
A_y = 2,0
A_x = 4,30
A_y = 1,23
A_y =0
A_x = 4,47
Matematicamente, qual seria o referencial mais fácil para fazer cálculos?
P
P
P
Exemplo 2
Se cada unidade principal da grade na figura corresponder a 1 m, especifique a localização do ponto P nas coordenadas polares
y
x
\cdot
P(x,y)
y
x
\cdot
P(r,\theta)
y
x
r
\theta
x
y
r
y
x
\theta
x = 3,5
y = 2,5
Exemplo 3
Imagine uma abelha voando.
No instante \(t_i = 15,0\) s depois de 9:00, o vetor posição da abelha era \(\vec r_i = 〈2; 4; 0〉\) m.
No instante \(t_f = 15,1\) s depois de 9:00, o vetor posição da abelha era \(\vec r_f = 〈3; 3,5; 0〉\) m.
Qual o vetor deslocamento da abelha?
Qual foi a velocidade média da abelha durante esse intervalo?
Expresse esse vetor como um produto da magnitude da velocidade (velocidade escalar) por um vetor unitário na direção e no sentido da velocidade.
Exemplo 4
Prevendo a posição de uma bola.
No instante \(t_i = 12,18\) s depois de 13:30, o vetor posição de uma bola é \(\vec r_i = 〈20; 8; −12〉\) m. Nesse instante, a velocidade da bola é \(\vec v = 〈9; −4; 6\)〉 m/s.
Onde estará a bola no instante \(t_f = 12,21\) s depois de 13:30, supondo que a velocidade permaneça praticamente a mesma durante este curto intervalo de tempo?
Exemplo 5
A velocidade média e instantânea de uma bola.
A Figura 1 mostra a trajetória de uma bola, com posições marcadas em intervalos de 1 s, e a tabela na Figura 2 lista as informações sobre as posições. Enquanto a bola está no ar, sua velocidade muda constantemente, devido a interações com a Terra (gravidade) e com o ar (resistência do ar).
Qual a velocidade da bola no instante preciso em que ela atinge a posição B?
Exemplo 6
(a) Quais vetores têm magnitudes iguais à magnitude de \(\vec a\) ?
(b) Quais vetores são iguais a \(\vec a\) ?
Exemplo 7
Os três vetores são representados por setas no plano xy. Cada quadrado na grade representa um metro. Para cada vetor, escreva as componentes e calcule a magnitude do vetor.
Exemplo 8
(a) Na figura quais são as componentes do vetor \(\vec d\) ?
(b) Se \(\vec e = - \vec d\) , quais são as componentes de \(\vec e\) ?
(c) Se a cauda do vetor \(\vec d\) fosse deslocada para a posição 〈−5; −2; 4〉 m, onde estaria localizada a ponta do vetor?
(d) Se a cauda do vetor \(-\vec d\) fosse colocada na posição 〈−1; −1; −1〉 m, onde estaria localizada a ponta do vetor?
Exemplo 9
(a) Qual é o vetor cuja cauda está em 〈9,5; 7; 0〉 m e cuja ponta está em 〈4; − 13; 0〉 m? (b) Qual é a magnitude desse vetor?
Um homem está em pé no alto de um edifício com sua cabeça na posição 〈12; 30; 13〉 m. Ele vê o topo de uma árvore, na posição 〈−25; 35; 43〉 m. (a) Qual é o vetor posição relativa que aponta da cabeça do homem ao topo da árvore? (b) Qual é a distância da cabeça do homem até o topo da árvore?
Exemplo 10
Aplicação
Como é realizado o rastreio de um satélite com coordenadas cartesianas?
Fonte: Howard CurtisO vetor de posição em metros é dado como uma função do tempo em segundos como
Em t = 10 s, calcule (a) a magnitude da velocidade e (b) a magnitude da aceleração.
FM - Tópico 1
By Ronai Lisboa
FM - Tópico 1
Revisão: Vetores.
