Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 08
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Estudar os seguintes sistemas dinâmicos:
Corpos sujeitos à força de atrito.
Corpos sujeitos à força de arrasto.
Bibliografia.
Tipler - Cap. 5
Seções 5.1 e 5.2
- Refaça alguns exercícios resolvidos.
Força de atrito estático e cinético
Atrito é uma força que se opõe ao movimento relativo entre sistemas em contato.
É melhor pensar que a força de atrito se opõe à velocidade.
\vec v
\vec F_{at}
A força de atrito pode ser estático (não há movimento), cinético (há translação) e rolamento (há rotação).
Antes do movimento há o regime da Força de Atrito de Estático:
F_{at,e}\leq\mu_eN
Força de atrito estático e cinético
\vec F_{at,e}
\vec F_{ap}
\vec a = \vec 0
\vec F_{at,e}
\vec F_{ap}
\vec a = \vec 0
A força de atrito estático se ajusta à força aplicada devido as interações entre as superfícies:
\vec F_{at,e}+\vec F_{ap}=\vec 0
A magnitude da força de atrito estático é calculada pela desigualdade:
Observe que a magnitude da força aplicada aumenta, mas não há movimento relativo
A força de atrito estático é máxima quando há a iminência do movimento.
F^{max}_{at,e}= \mu_e N
Após o movimento há o regime da Força de Atrito Cinético:
Força de atrito estático e cinético
O coeficiente de atrito cinético é menor do que o coeficiente de atrito estático (\(\mu_c < \mu_e\)) e ambos dependem das superfícies em contato.
\vec F_{ap}
\vec F_{at,c}
\vec a \neq \vec 0
Observe que a magnitude da força aplicada é maior que a força da atrito cinético. O movimento pode ser acelerado ou não.
\vec F_{at,e}+\vec F_{ap}=m\vec a
\vec F_{Ro}=m \vec a
F_{at,c} = \mu_cN
A magnitude da força de atrito cinético é calculada pela igualdade:
F_{at,e} > F_{at,c}
Força de atrito estático e cinético
As forças de atrito não dependem da área de contato, mas dos tipos de superfícies.
A força de atrito cinético é menor do que o estático, pois há quebras das ligações atômicas e moleculares quando ocorre o movimento.
Fonte: OpenStax.org
Região estática
Região cinética
A direção da força de atrito é sempre oposta à do movimento (velocidade), paralela à superfície entre os objetos e perpendicular à força normal.
Força de atrito estático e cinético
F_{ap} < F_{at,e}
F_{ap} = F_{at,c}
\vec F_{ap}
\vec F_{ap}
Se a caixa que você tenta empurrar (com uma força paralela ao chão) tem uma massa de 100 kg, então a força normal é igual ao seu peso,
P=mg=(100\text{kg})(9,80\text{m/s}^2)=980 \text{N}
A força aplicada paralela ao piso deve ser maior que a força de atrito estático para mover a caixa:
F^{max}_{at,e}=\mu_e N=(0,45)(980 \text{N})=440\text{N}
A força de atrito cinético é menor e permite que a força aplicada seja menor para mover à velocidade constante:
F_{at,c}=\mu_c N=(0,30)(980 \text{N})=290\text{N}
Forças de atrito
Muitas partes do corpo, especialmente as articulações, têm coeficientes de atrito muito menores — frequentemente três ou quatro vezes menores que o gelo.
Crédito: OpenStax
Uma articulação danificada ou artrítica pode ser substituída por uma articulação artificial (aço inoxidável ou titânio) ou plástico (polietileno), também com coeficientes de atrito muito baixos.
Exemplo 1
Uma caixa de 20,0 kg está em repouso sobre o piso, conforme mostrado na Figura 6.13. O coeficiente de atrito estático entre a caixa e o piso é 0,700 e o coeficiente de atrito cinético é 0,600. Uma força horizontal \(\vec F\) é aplicada à caixa. Encontre a força de atrito se
(a) \(\vec F = 20,0 \hat i \text{ N } \)
(b) \(\vec F = 30,0 \hat i \text{ N } \)
(c) \(\vec F = 120,0 \hat i \text{ N } \)
(d) \(\vec F = 180,0 \hat i \text{ N } \)
Fonte: OpenStax.org
\vec F
\vec F
\vec P
\vec N
\vec F_{at}
\vec v
A força de atrito estático exercida por uma superfície em um objeto é proporcional à força com que o objeto pressiona a superfície e é capaz de mantém em repouso.
Para quaisquer duas superfícies 1 e 2:
F_{at,e} \leq \mu_e N
x
y
\vec P
P_y
P_x
\vec N
\vec F_{at,e}
\vec F^c
Força de atrito estático
\theta
\vec v
\cdot
\theta
N-P_y=0
P_x - F_{at,e} = 0
A magnitude máxima da força de atrito estático entre duas superfícies é proporcional à magnitude da força normal exercida pelas superfícies uma sobre a outra. Aqui, a normal não é igual ao peso.
F^{max}_{at,e} = \mu_e N
F^{max}_{at,e} = \mu_e P_y
F^{max}_{at,e}= \mu_e P\text{cos}\theta
A força de atrito cinético exercida por uma superfície em um objeto é proporcional à força com que o objeto pressiona a superfície e não é capaz de manter o repouso.
Para quaisquer duas superfícies 1 e 2:
F_{at,c} = \mu_c N
\vec a
\theta
x
y
\vec P
P_y
P_x
\vec N
\vec F_{at,c}
\vec F^c_{sb}
N-P_y=0
P_x - F_{at,e}=ma
F_{at,c} = \mu_c N
A força atrito cinético entre duas superfícies é proporcional à magnitude da força normal exercida pelas superfícies uma sobre a outra. Novamente, a normal não é igual ao peso.
F_{at,c} = \mu_c P_y
F_{at,c}= \mu_c P\text{cos}\theta
Força de atrito cinético
As forças sobre um bloco sobre um plano que pode ser inclinado.
As forças exercidas no bloco são a força gravitacional e a força de contato.
Plano inclinado
Vale 0,3 pts na média da unidade. Use \(\theta = 30^o\), \(v_0 = 0 m/s\), \(g=9,8 m/s^2\), (m = 5 kg), \(\mu_c = 0,25\) e \(\mu_e = 0,60\).
Use as leis de Newton e mostre porque o bloco não desce o plano inclinado. Alterar a massa faz ele descer? Para que ângulo de inclinação e começaria a descer? Como calcular a velocidade no ponto mais baixo?
Exemplo 2
A magnitude do atrito cinético é dada como 45,0 N. O atrito cinético está relacionado à força normal 𝑁 por \(F_{at,c}=\mu_c N\); portanto, podemos encontrar o coeficiente de atrito cinético se pudermos encontrar a força normal atuante no esquiador. A força normal é sempre perpendicular à superfície e, como não há movimento perpendicular à superfície, a força normal deve ser igual à componente do peso do esquiador perpendicular à rampa.
Fonte: OpenStax.org
\vec F_{at}
\vec v
\vec N
\vec P
\vec P_x
\vec P_y
\vec N
\vec F_{at}
\vec P
\vec P_x
\vec P_y
Fonte: The Mathematical Intelligencer. Link.A natação ocorre na água, um fluido denso e viscoso (...), mas a flutuabilidade humana quase neutra minimiza o efeito das forças gravitacionais. O principal obstáculo (...) é o arrasto - as forças de atrito que empurram para trás contra o movimento para frente.
Enquanto a água apoia o nadador, ela (força) também impede o movimento.
F_d = \frac{1}{2}\rho v^2 C_d A
Reduzir essa força de arrasto é uma pedra angular da glória olímpica, e os nadadores raspam o cabelo de seus corpos até trajes de compressão que minimizam o coeficiente de arrasto.
Qual a dimensão do coeficiente de arrasto, \(C_d\)?
força
densidade
coeficiente de arrasto
área
rapidez
Crédito: Speedo. Caeleb Dressel. Força de arrasto
Os atletas olímpicos de 2024 usaram trajes técnicos reforçados com fibra de carbono que são feitos para apenas acomodar seus corpos cinzelados.
Os nadadores constroem cuidadosamente músculos em regiões de seus corpos que não afetarão a quantidade de \(C_dA\), e o melhor possui a famosa "construção do nadador" (o torso em forma de V de ombros largos e cintura estreita) para cortar através da água.
- O objetivo é reduzir sua área frontal a uma fração de sua posição de repouso;
- As corridas podem ser perdidas nos segmentos de uma natação que não envolvem natação real!
- As corridas são muitas vezes ganhas e perdidas com base na qualidade da aerodinâmica de um atleta.
Crédito: Speedo. Caeleb Dressel. 
F_d = \frac{1}{2}\rho v^2 C_d A
Força de arrasto
Crédito: Red Bull.
Crédito: Guiness World Records.Força de arrasto
Força de arrasto
Você sente a força de arrasto ao mover a mão na água. Você também pode senti-la ao mover a mão durante um vento forte. Quanto mais rápido você mover a mão, mais difícil será movê-la. Você sente uma força de arrasto menor ao inclinar a mão de forma que apenas a lateral atravesse o ar — você diminuiu a área da mão voltada para a direção do movimento.
F_{arrasto} = \frac{1}{2}C\rho Av^2
A força de arrasto tem a seguinte forma empírica:
\(\rho \rightarrow\) densidade do ar.
\(A \rightarrow\) área do corpo.
\(v \rightarrow\) rapidez do corpo.
\(C \rightarrow\) coef. aerodinâmico.
F_{arrasto} = b v^n
Força de arrasto
A partir de \(t = 50\) s de queda, a velocidade começou a se reduzir lentamente. O paraquedas foi aberto somente no ponto F. Mas já se observa um efeito do arrasto sobre o paraquedista devido à atmosfera mais densa.
F_{arrasto} = \frac{1}{2}C\rho Av^2
A força de arrasto tem a seguinte forma empírica:
\(\rho \rightarrow\) densidade do ar.
\(A \rightarrow\) área do corpo.
\(v \rightarrow\) rapidez do corpo.
\(C \rightarrow\) coef. aerodinâmico.
Crédito: https://www.scielo.br
Força de arrasto
No ínicio do salto (h = 38 970 m) a aceleração de queda livre foi de 9,675 m/s\(^2\) e no nível do solo foi de 9,791 m/s\(^2\). A aceleração variou apenas 1%.
v(t) = 1,0+9,65 t
Até \(t = 24\) s o paraquedista caiu cerca de 2 791 m e a função velocidade é quase linear no tempo:
e \(v(24) = 232,6\) m/s.
A queda vertical de um paraquedista durando mais de 20 s e por quase 3 km, com a aceleração de queda coincidindo com a aceleração gravitacional foi um recorde.
Isso é queda livre!
Crédito: https://www.scielo.br
a=g
Força de arrasto
A partir de \(t=24 \) s, a velocidade se afasta do regime linear devido a questões de dinâmica do vôo. Mas ainda sem abrir o paraquedas.
Em \(t = 50\) s, tendo descido 11 120 km, aconteceu a máxima velocidade de queda, portanto neste momento foi batido o recorde de velocidade, sendo o seu valor 379 m/s.
A velocidade do som* em um gás acaba por depender apenas da temperatura \(T\), da massa molar \(M\) e da razão \(\gamma\) entre os calores específicos molares:
v_{s}=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}
M=0,0289 \text{ kg}
\gamma=1,4
T=1225\text{ K}
v_{s}=300\text{ m/s}
v_{s}=1,25\text{mach}
Crédito: https://www.scielo.br
* na altura em que se encontra
Força de arrasto
Se o paraquedista atinge a velocidade terminal, a resultante das forças sobre ele é nula:
\vec F_{arrasto} + \vec P = \vec 0
\frac{1}{2}C\rho Av_t^2-mg=0
v_t=\sqrt{\frac{2mg}{CA\rho}}
A velocidade terminal (\(v_t\)) diminui com a densidade do ar.
v_t=\frac{c}{\sqrt{\rho}}
onde para o Felix \(c =\sqrt{{2mg}/{CA}} = 66 \text{ kg}^{0,5}.\text{s}^{-1}.\text{m}^{-0,5}\).
O gráfico da velocidade em função da densidade, onde em linha contínua está representada a função de ajuste.
Crédito: https://www.scielo.br
Modelo
Se observa um efeito do arrasto sobre o paraquedista devido à atmosfera mais densa.
Força de arrasto
O coeficiente aerodinâmico depende da geometria do corpo.
Fonte: NASA/AmesFonte: OpenStax.orgPara um objeto esférico em queda em um meio, a força de arrasto é proporcional à velocidade:
F_{arrasto} =6\pi r \eta v
onde \(r\) é o raio do objeto, \(\eta\) é a viscosidade do fluido e \(v\) é a velocidade do objeto.
Força de arrasto: A lei de Stokes
F_{arrasto} = b v
Fonte: Openstax.orgPara um objeto em movimento em meio a um fluido, enquanto não atinge a velocidade terminal, a segunda lei de Newton:
mg-bv = ma
a=g-\frac{b}{m}v
Em \(t=0\) se \(v=0\), então, \(a = g\). Temos uma queda livre!
Em \(t\neq 0\) se \(v\neq 0\), então, a aceleração começa a diminuir.
Vai chegar um ponto em que \(a=0\), e temos a velocidade terminal:
v_t=\sqrt{\left(\frac{mg}{b}\right)}
Carros são projetados para minimizar \(b\), para minimizar o efeito da resistência do vento.
Um pára-quedas é projetado para maximizar \(b\), de forma que a rapidez terminal seja pequena.
Força de arrasto: A lei de Stokes
Para um objeto em movimento em meio a um fluido, enquanto não atinge a velocidade terminal, a segunda lei de Newton, fornece:
a=g-\frac{b}{m}v
\frac{dv}{dt}=g-\frac{b}{m}v
Integrando, via separação de variáveis para um caso com baixa velocidade:
\int_0^v\frac{dv'}{g-\frac{b}{m}v'}=\int_0 ^tdt'
-\frac{m}{b}\ln\left(
g-\frac{b}{m}v'
\right)|_0^v=t'|_0^t
-\frac{m}{b}\left[\ln\left(
g-\frac{b}{m}v'
\right)-\ln(g)\right]=t
Simplicando:
v(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})
Considerando \(y=0\) quanto \(t=0\) e aplicando a definição de velocidade \(v=dy/dt\):
y(t)=\frac{mg}{b}t-\frac{m^2g}{b^2}(1-e^{-bt/m})
Força de arrasto: A lei de Stokes
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def drag_function(m, g, b, t):
v_t = (m * g / b) * (1 - np.exp(-b * t / m))
y_t = (m * g / b) * t - (m**2 * g / b**2) * (1 - np.exp(-b * t / m))
return v_t, y_t
# Parâmetros
m = 1.0 # massa em kg
g = 9.81 # aceleração devido à gravidade em m/s^2
b = 0.5 # coeficiente de arrasto
# Tempo de 0 a 10 segundos
t_values = np.linspace(0, 10, 300)
v_values, y_values = drag_function(m, g, b, t_values)
# Plotando os resultados
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t_values, v_values, label="v(t)", color='blue')
plt.title("Velocidade (v) em função do tempo (t)")
plt.xlabel("Tempo (s)")
plt.ylabel("Velocidade (m/s)")
plt.grid()
plt.legend()
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t_values, y_values, label="y(t)", color='green')
plt.title("Posição (y) em função do tempo (t)")
plt.xlabel("Tempo (s)")
plt.ylabel("Posição (m)")
plt.grid()
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
Para \(t\rightarrow 0, v(0) = 0\),
v(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})
Para \(t \rightarrow \infty, v(\infty) = v_t\),
v(t)=v_t(1-e^{-bt/m})
v_t
O valor \(t\sim 10 \) s se comporta como o "infinito" para esse sistema, pois a velocidade atingiu seu valor terminal (constante).
v_t=\left(\frac{mg}{b}\right)^{1/1}
Força de arrasto: A lei de Stokes
Exemplo 3
Uma pára-quedista de 64 kg cai com uma rapidez terminal de 180 km/h, com seus braços e pernas estendidos.
(a) Qual é a magnitude da força de arraste, para cima, sobre o pára-quedista?
(b) Se a força de arraste é igual a \(bv^2\) , qual é o valor de \(b\)?
Exemplo 4
Vamos reconsiderar a situação do praticante de skibunda do exemplo 4, mas agora incluímos o atrito. Um praticante de skibunda desce uma montanha com θ = 22°. Suponha que o coeficiente de atrito cinético entre sua prancha e a neve seja de 0,21, e sua velocidade, que é no sentido da montanha, é de 8,3 m/s em um determinado instante.
- Presumindo uma inclinação constante, qual será a velocidade da pessoa no sentido da montanha após ter percorrido 100 m?
- Quanto tempo leva para que o praticante de snowboard atinja sua velocidade?
- Dado o mesmo coeficiente de atrito, qual teria que ser o ângulo da montanha para que a pessoa deslizasse com velocidade constante?
Exemplo 5
O coeficiente de atrito estático entre o bloco 1 (\(m_1\) = 2,3 kg) e sua superfície de apoio tem um valor de 0,73, e o coeficiente de atrito cinético tem um valor de 0,60. Se o bloco 2 tem massa \(m_2\) = 1,9 kg, o bloco 1 acelerará a partir do repouso?
Exemplo 6
Dois blocos retangulares estão empilhados sobre uma mesa, conforme mostra a Figura. O bloco de cima tem massa de 3,40 kg, e a massa do bloco de baixo é de 38,6 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de baixo e a mesa é 0,260. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é 0,551. Um barbante é preso ao bloco de baixo, e uma força externa é aplicada horizontalmente, puxando o barbante conforme mostrado. Qual é a força máxima que pode ser aplicada ao barbante sem que o bloco de cima deslize?
Você pega um bloco de metal de 3 kg e faz com que deslize sobre um piso cujo coeficiente de atrito é apenas 0,4. Você solta o bloco com uma velocidade inicial de 6,0 m/s. Quanto tempo vai demorar para que o bloco pare? Qual a distância percorrida por ele?
Exemplo 7
\vec v
+y
\otimes
\vec N
\vec P
\vec F_{at}
\vec N
\vec F_{at}
\vec P
+x
Um bloco repousa em um piso.
(a) Qual é o módulo da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco?
(b) Se uma força horizontal de 5 N é aplicada ao bloco, mas o bloco não se move, qual é o módulo da força de atrito?
(c) Se o valor máximo \(f_{s,máx}\) da força de atrito estático que age sobre o bloco é 10 N, o bloco se move se o módulo da força aplicada horizontalmente for aumentado para 8 N?
(d) E se o módulo da força for aumentado para 12 N?
(e) Qual é o módulo da força de atrito no item (c)?
Exemplo 8
Exemplo 9
Um caminhante está ajudando um amigo a subir uma colina que faz um ângulo de 30° com o nível do solo. O caminhante, que está mais acima da colina, está puxando um cabo preso ao amigo. O cabo é paralelo ao morro, de modo que também faça um ângulo de 30° com a horizontal. Se o coeficiente de atrito estático entre as solas das botas do caminhante e a superfície da colina for 0,80 e sua inércia for 65 kg, qual é a magnitude máxima da força que ele pode exercer no cabo sem escorregar?
\vec T
\vec N
\vec F_{at,e}
\vec P_{y}
\vec P_{x}
Exemplo 10
Ao projetar um sistema de correia transportadora para um novo aeroporto, você determina que, em uma inclinação de 20°, a magnitude da máxima da aceleração que um cinto de borracha pode dar a uma mala típica antes que a mala comece a escorregar é de 4,0 m/s^2. Qual é o coeficiente de atrito estático para uma mala típica de borracha
belt
\vec N
\vec F_{at,e}
\vec P_{y}
\vec P_{x}
Exemplo 11
Um bloco de motor de massa M está sobre a carroceria de uma caminhonete que viaja em linha reta sobre uma estrada plana com velocidade inicial de 30 m/s. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a carroceria é 𝜇e = 0,540. Encontre a distância mínima em que a caminhonete consegue parar sem que o bloco de motor deslize na direção da cabine.
Exemplo 12
Um barco a motor está se movendo através de um lago a uma velocidade \(v_0\) quando seu motor congela repentinamente e para. O barco então desacelera sob a força de atrito \(f=-bv\).
(a) Quais são a velocidade e a posição do barco como funções do tempo?
(b) Se o barco desacelera de 4,0 m/s para 1,0 m/s.
FM - Aula 08
By Ronai Lisboa
FM - Aula 08
Dinâmica. Aplicações das leis de Newton. Força de atrito. Força de arrasto.
