Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 09
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Estudar os seguintes sistemas dinâmicos:
Movimento circular.
Força centrípeta.
Movimento circular é um movimento curvilíneo cuja trajetória é um círculo.
Eixo tangencial e aponta na direção do aumento da coordenada angular.
Eixo radial e aponta para longe do eixo de rotação.
Eixo normal e é perpendicular ao plano de rotação.
Os eixos r e t mudam de direção quando eles giram com o objeto.
\hat r
\hat t
\hat r
\hat t
Os eixos são perpendiculares e têm a direção dos vetores unitários radial (\(\hat r\)) e tangencial (\(\hat t\)).
Fonte: Eric Mazur
O movimento circular
Mesmo que a velocidade seja constante, uma partícula pode ter aceleração se se mover ao longo de uma trajetória curva, como um círculo.
O movimento circular: Aceleração centrípeta
Fonte: Openstax.orgO vetor velocidade tem magnitude constante e é tangente à curva, mas a direção muda num intervalo de tempo, \(\Delta t\):
\vec v_i =\vec v(t)
\vec v_f=\vec v(t+\Delta t)
Como o vetor velocidade \(\vec v(t)\) é perpendicular ao vetor posição \(\vec r(t)\), os triângulos formados pelos vetores posição e \(\Delta \vec r\) , e os vetores velocidade e \(\Delta \vec v\) são semelhantes.
\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta r}{r}
\Delta{v}=\frac{v}{r}\Delta r
A aceleração centrípeta.
A magnitude da aceleração média:
No limite \(\Delta t \rightarrow 0\), define-se a aceleração centrípeta:
que é direcionada radialmente para dentro da trajetória curvilínea e é perpendicular à velocidade tangente à curva.
A aceleração devido ao movimento circular mantem o objeto se movendo à rapidez \(v_t\) ao longo da circunferência de um círculo de raio \(r\).
\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v}{r}\frac{\Delta r}{\Delta t}
a_c =\frac{v_t^2}{r}
\Rightarrow
a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}
Fonte: Eric Mazur
O movimento circular: Aceleração centrípeta
a_c = 5,78 \text{m/s}^2
a_c =2,73 \times 10^{-3} \text{m/s}^2
a_c =9,00 \times 10^{22} \text{m/s}^2
a_c = 5 g
a_c = 0,233 \text{m/s}^2
O movimento circular: Aceleração centrípeta
Um jato voa a 134,1 m/s em linha reta e faz uma curva ao longo de uma trajetória circular nivelada com o solo. Qual deve ser o raio do círculo para produzir uma aceleração centrípeta de 1 g no piloto e no jato em direção ao centro da trajetória circular?
Exemplo 1
Quando a rapidez do objeto não é constante temos uma aceleração tangencial.
A aceleração tangencial é uma medida da variação da magnitude da velocidade tangencial.
A aceleração tangencial é tangente à curva:
e pode ter o mesmo sentido da velocidade tangencial ou sentido oposto.
a_{t} \equiv \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta v_{t}}{\Delta t}=
\frac{dv_{t}}{dt}
O movimento circular: Aceleração tangencial
\vec v
\vec v
Acelerado
Retardado
Podemos analisar as aceleração tangencial e centrípeta que estão contidas no plano.
v_t = \text{constante}
a_t = \frac{dv_t}{dt} =0
a_c = \frac{v_t^2}{r} =\text{constante}
MCU
O movimento circular: Aceleração resultante
v_t \neq \text{constante}
a_t = \frac{dv_t}{dt} \neq 0
a_c = \frac{v_t^2}{r} \neq\text{constante}
MCUV
\vec a= a_t\hat t + a_{c}\hat r
a= \sqrt{a_t^2 + a_{c}^2}
Aceleração resultante
\vec a_c
\theta = \tan^{-1}\left(
\frac{a_c}{a_t}
\right)
Uma partícula movendo-se ao longo da trajetória curva terá acelerações direcionadas como mostrado.
Fonte: Hibbeler
O movimento circular: Aceleração resultante
Uma partícula move-se num círculo de raio r = 2,0 m. Durante o intervalo de tempo de t = 1,5 s a t = 4,0 s, a sua velocidade varia com o tempo de acordo com:
Exemplo 2
v(t) = c_1-\frac{c_2}{t^2}
com \(c_1 = 4,0 \text{ m/s}\) e \(c_2 = 6,0 \text{ m.s}\) . Qual é a aceleração total da partícula em t = 2,0 2?
A força centrípeta sobre um objeto em movimento circular à rapidez constante nos diz que a soma vetorial das forças exercidas no objeto deve ser direcionada para o centro do círculo, ajustando continuamente a direção do objeto.
Sem essa soma vetorial de forças apontando para dentro, o objeto se moveria em uma linha reta na direção da velocidade tangencial.
\vec F_c
\vec v_t
F_c = ma_c
A magnitude da força centrípeta:
F_c = m\frac{v_t^2}{r}
A força centrípeta é uma força central que varia a direção da velocidade tangencial.
A força centrípeta
O giro da Terra em torno do Sol está sujeito a uma força central.
A força central não quer dizer que o objeto em movimento circular será atraído para centro.
A força central varia a direção do vetor velocidade tangencial.
\vec F_{r}=m\frac{v_t^2}{r}\hat r
Removendo a força centrípeta o objeto vai se mover em linha reta a partir da tangente da trajetória circular e com \(\vec v_t = constante\).
A força centrípeta
Exemplo 3
(a) Calcule a força centrípeta exercida sobre um carro de 900,0 kg que percorre uma curva de raio de 500,0 m a 25,00 m/s. (b) Supondo uma curva sem inclinação, encontre o coeficiente de atrito estático mínimo entre os pneus e a estrada, sendo o atrito estático o motivo que impede o carro de escorregar.
Fonte: Openstax.org\vec P
\vec P
\vec N
\vec N
\vec F_{at}
\vec F_{at}
Os pequenos satélites da Starlink, orbitam a Terra em alturas entre 500 a 1200 km acima da superfície da Terra.
O objetivo é estabelecer um serviço mundial de Internet de banda larga confiável e fácil acesso.
Os satélites operam em órbita terrestre baixa (LEO), o que resulta em latência mais baixa e taxas de transferência de dados (20 milisegundos) mais rápidas do que os satélites geoestacionários típicos (600 milisegundos) que orbitam em altas altitudes (36 000 km).
É importante criar mecanismos que controlem a distância entre o satélite e o centro da Terra, pois isso afeta a velocidade e o período do satélite.
A força centrípeta
O que mantém os satélites em órbita é a física newtoniana, em primeira aproximação:
A força centrípeta resultante que atua sobre este satélite em órbita é dada pela relação:
F_{cp} = m_{sat}\frac{v^2}{R}
F_{grav}=\frac{G M_T m_{sat}}{R^2}
A equação para a velocidade do satélite movendo-se em uma órbita circular em torno da Terra:
F_{cp} = F_{grav}
v^2 = \frac{GM_T}{R}
A velocidade para completar a órbita circular \(\Delta S=2\pi R\) num período \(T\):
v = \sqrt{\frac{GM_T}{R}}
v = {\frac{2\pi R}{T}}
O período \(T\) e a velocidade não dependem da massa do satélite:
T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{G M_{T}}
T^2 =kR^3
Terceira lei de Kepler
A força centrípeta
STARLINK-30856
v = \sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}}
v = \sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}}
Os satélites estão sujeitos à terceira lei de Kepler
A força centrípeta
Exemplo 4 (A11.P1-14)
Um carro passa com velocidade constante por uma colina circular e por um vale circular de mesmo raio. No alto da colina, a força normal exercida sobre o motorista pelo assento do carro é zero. A massa do motorista é de 70,0 kg. Qual é o módulo da força normal exercida pelo assento sobre o motorista quando o carro passa pelo fundo do vale?
Fonte: Halliday
Exemplo 5 (A11.P1-09)
Um cubo está sobre uma plataforma giratória, girando inicialmente a rapidez constante. A rapidez angular da plataforma giratória é aumentada lentamente e, em um instante, o cubo desliza para fora da plataforma giratória. Explique por que isso acontece.
Fonte: Eric Mazur
Exemplo 6 (A11.P1-15)
Uma bola de 50 g oscila em um círculo vertical presa por um barbante de 1,5 m de comprimento. Quando a bola se encontra no fundo da trajetória circular, a tensão no barbante é de 15 N. (a) Quanto vale a velocidade da bola neste ponto? (b) Qual o trabalho realizado pela força resultante?
Fonte: Wolfgang
Exemplo 7 (A11.P1-16)
Um estudante amarra uma pedra de 500 g por um barbante de 1,0 m de comprimento e a gira sobre a cabeça em um círculo horizontal. A que valor de velocidade angular, em rpm, o barbante ficará inclinado para baixo em 10°?
Fonte: Wolfgang
Exemplo 8 (A11.P1-17)
Uma bola de 500 g move-se em um círculo vertical presa por um barbante de 102 cm de comprimento. Se a velocidade no topo vale 4,0 m/s, o valor da velocidade no fundo será 7,5 m/s. (No Capítulo 10 você aprenderá a demonstrar isto.) a. Quanto vale a força gravitacional exercida sobre a bola? b. Quanto vale a tensão no barbante quando a bola se encontra no topo? c. Quanto vale a tensão no barbante quando a bola se encontra no fundo?
Fonte: Wolfgang
Exemplo 9 (A11.P1-10)
A corda que segura o balde ou uma esfera faz um pequeno ângulo com a horizontal. É possível girar o balde para que a corda fique exatamente na horizontal? Qual a velocidade tangencial?
\vec a_c
componente horizontal da tensão
\vec T_x
componente vertical da tensão
\vec T_y
x
y
contato
\vec F^c_{cb}=\vec T
\vec P
peso
\theta
Exemplo 10 (A11.P1-11)
Uma piloto contorna uma curva a toda velocidade, inclinando-se bruscamente para a curva. Se, durante a volta, ela percorre o arco de um círculo de raio 4,5 m a uma rapidez constante de 5,0 m/s, qual ângulo o corpo deve fazer com a vertical para fazer a curva sem cair
Fonte: https://www.nicepng.com
x
y
\vec a_c
normal
\vec N
contato
\vec F^c_{sm}
atrito estático
\vec F^{at}
peso
\vec P
\theta
Exemplo 11
Quando um avião viaja a velocidade (vetorial) constante na horizontal, suas turbinas ou hélices “sentem” uma força horizontal para a frente. A atuação do ar no corpo e nas asas do avião exerce uma força com uma componente horizontal para traz, que é uma força de atrito, e outra componente (E) vertical para cima, que sustenta o avião.
(a) Por que o avião não consegue fazer uma curva na horizontal sem inclinar as asas?
(b) Qual o ângulo que as asas devem ser inclinadas para que o avião realize uma curva na horizontal de raio R?
Exemplo 12 (A11-P1-13):
Uma curva de 30,0 m de raio é inclinada de um ângulo θ. Isto é, a normal da superfície da estrada forma um ângulo com a vertical. Encontre θ para que o carro percorra a curva a 40,0 km/h, mesmo se a estrada está coberta de gelo, o que a torna praticamente sem atrito.
Fonte: Tipler
A orientação da rotação em relação ao eixo de rotação é uma convenção.
O ângulo polar, \(\theta\), de um objeto que se move ao longo de um círculo de raio, \(r\), é definido como o comprimento do arco, \(s\), sobre o qual o objeto se moveu dividido pelo raio:
Como as medidas do ângulo polar são feitas em radianos
mesmo que radiano não seja uma unidade.
1\,\text{rad}=0,159\,\text{rev} = 57,3^o
Ao dividir as grandezas \(s/r\), com dimensões de comprimento, vê-se que \(\theta\) admensional.
\theta
= \frac{s}{r}
\theta
= \frac{s}{r}
arco
raio
O movimento circular
A variação do ângulo polar, \(\Delta \theta\), é igual ao ângulo polar final menos o ângulo polar inicial, é
\Delta \theta
= \frac{\Delta s}{r}
\Delta \theta =\theta_f-\theta_i
\Delta \theta =\frac{s_f}{r}-\frac{s_i}{r}
\theta
= \frac{s}{r}
como
A variação do ângulo polar é igual a razão entre a variação do comprimento de arco pelo raio da circunferência:
\theta_i = \frac{\pi}{12}\text{rad}
r = 10\text{\,m}
\Rightarrow \Delta s = r\Delta \theta
\Rightarrow \Delta s = \frac{5\pi}{6}\text{ m }
\theta_f = \frac{\pi}{6}\text{rad}
\Delta s
s_f
s_i
\theta_i
\theta_f
\Delta \theta
O movimento circular
A partir da definição de velocidade média:
E o mesmo para a velocidade tangencial instantânea:
e que \(\Delta s = r \Delta \theta\), existe uma relação entre a velocidade média e velocidade angular média, \(\omega_m\).
v_{m}=\frac{\Delta s}{\Delta t}
v_{m}\equiv \frac{r \Delta \theta}{\Delta t}
v_{m}=r\frac{\Delta \theta}{\Delta t}
v_m = r\,\omega_{m}
v_{t}\equiv \frac{d s}{d t}
v_{t} =r\frac{d\theta}{d t}
v_t = r\,\omega_{}
- \vec v_m
\vec r
\vec r
\Delta S = r\Delta \theta
A velocidade angular média é:
\omega_{m}=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}
\vec r
- \vec v_t
O movimento circular
O movimento circular
Motor de passo de 90 graus
O motor "para" 4 vezes ao completar uma volta.
\theta = \frac{2\pi}{4}\text{ rad}=\frac{\pi}{2}\text{ rad}
\theta = \frac{1}{4}\text{ rev}
\theta = 90^o
Para completar 1 volta é necessário aplicar 4 pulsos.
1 volta =
\theta =4\times\frac{\pi}{2}\text{ rad}
\theta =4\times\frac{1}{4}\text{ rev}
\theta =4\times 90^o
O motor com ângulo de grau de \(1,8^o\), "para" quantas vezes?
Quantos pulsos são necessários para 1 volta? E se for um motor com redução 1:64?
O movimento circular
Motor de passo de 1,8 graus
O motor com ângulo de grau de \(1,8^o\) "para" 200 vezes.
Ao aplicar 200 pulsos a cada segundo vamos saber a velocidade angular do motor:
\omega_{m}=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}
=\frac{200\times0,0314\text{ rad}}{\text{s}}
=6,28\frac{\text{ rad}}{\text{s}}
\Delta\theta = 1,8\times \frac{\pi}{180}\text{rad} = 0,01 \pi \text{rad} = 0,0314\text{ rad}
200 \Delta\theta = 6,28\text{ rad} =2\pi \text{rad} = 1\text{volta}
=1\text{ rps}
=2\pi\frac{\text{rad}}{\text{s}}
A velocidade angular pode ter as seguintes unidades:
\frac{\text{rad}}{\text{s}}
\frac{\text{rad}}{\text{min}}
\frac{\text{rad}}{\text{h}}
\frac{\text{rev}}{\text{s}}
\frac{\text{rev}}{\text{min}}
\frac{\text{rev}}{\text{h}}
\text{ rps}
\text{ rpm}
\text{ rph}
=1 \frac{\text{ volta}}{\text{s}}
A frequência angular pode ter as seguintes unidades:
\equiv
O movimento circular
Velocidade angular e frequência angular?
A velocidade angular do motor de passo de \(1,8^o\).
\omega_m=6,28\frac{\text{ rad}}{\text{s}}
De forma geral, para uma volta completa:
\omega_m=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}
\omega_m=\frac{2\pi \text{ rad}}{T}
\omega_m={2\pi \text{ rad}}\,f
f=\frac{1}{T}
O período é o tempo para completar 1 volta.
A frequência angular é o número de voltas por unidade de tempo.
A frequência angular do motor de passo \(f = 1 \text{ rps}\). Portanto, \(\omega_m = (2\pi \text{ rad)} f = 6,28\text{ rad}/\text{s}\).
O movimento circular
Engrenagens
\omega_1 = \omega_2
\frac{v_1}{R_1} =
\frac{v_2}{R_2}
v_1=
\frac{R_1}{R_2} v_2
R_1 / R_2 >1
v_1 > v_2
v_A = v_B
\omega_A R_A = \omega_B R_B
\omega_A = \omega_B \frac{R_B}{R_A}
\omega_A < \omega_B
-v_A = v_B
-\omega_A R_A = \omega_B R_B
\omega_A = -\omega_B \frac{R_B}{R_A}
|\omega_A| < |\omega_B |
f_A = 20 \text{ rpm}, R_A = 20\text{ cm}, R_B = 5\text{ cm},
f_1 = 20 \text{ rpm}, R_1 = 0,10\text{ m}, R_2 = 0,05\text{ m}
O movimento circular
Engrenagens
Quais as relações?
Modelando o movimento circular
\vec v_t = \vec\omega \times \vec r
O vetor velocidade angular é pode ser representada como uma grandez vetorial de direção perpendicular ao plano do movimento e seu sentido é dado pela regra da mão direita.
Crédito: https://www.geogebra.org/m/ugsjfsy5
Crédito: http://www.cepa.if.usp.br
v_t = \omega \,r\sin(\theta)
v_t = \omega \,r
Se \(\theta = 90^o\)
Modelando o movimento circular
Como o vetor velocidade tangencial muda de direção no movimento circular, nós podemos calcular o vetor aceleração
\vec a = \frac{d\vec v_t}{dt}
\vec a = \frac{d(\vec\omega \times \vec r)}{dt}
\vec a = \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt}+
\frac{d\vec \omega}{dt}\times \vec r
Para um movimento circular uniforme, \(\vec \omega = constante\), a aceleração é centrípeta e perpendicular ao vetor velocidade tangencial:
\vec a_{cp} = \vec \omega \times\vec v_t
\vec v_t
\vec \omega
\vec a
ou
\vec a_{cp} = \vec \omega \times(\vec\omega \times \vec r)
Se todos os ângulos são retos:
a_{cp} =\omega^2 r
a_{cp} =\frac{v_t^2}{r}
ou
Para um movimento circular não uniforme, a maginute da velocidade tangencial varia,
a_t = \frac{dv_t}{dt}
a_t = r\alpha
O movimento pode ser acelerado ou retardado.
Retardado
Retardado
Acelerado
Acelerado
- \vec \omega \cdot \vec \alpha >0
- \vec \omega \cdot \vec \alpha >0
- \vec \omega \cdot \vec \alpha <0
- \vec \omega \cdot \vec \alpha <0
Modelando o movimento circular
A velocidade média angular e a aceleração média angular.
Existe uma relação entre as grandezas de translação e rotação;
Fonte: https://www.compadre.org
r\rightarrow \theta
v\rightarrow \omega
a\rightarrow \alpha
r=r_0+v_0 t+\frac{1}{2}a't^2
\theta=\theta_0+\omega_{0} t+\frac{1}{2}\alpha'_{}t^2
\rightarrow
v_t=v_0 +a' t
\omega_{}=\omega_{0}+\alpha'_{}t
\rightarrow
a_t=a'
\alpha_{}=\alpha'_{}
\rightarrow
E que:
v_t = \omega r
a_t = \alpha r
a_c = \frac{v_t^2}{r}
Modelando o movimento circular
Um disco está girando em torno do eixo central como um carrossel. A posição angular é θ(t) de uma reta de referência do disco é dada por
Fonte: https://www.compadre.org
Modelando o movimento circular
\theta(t) = 1,00 -0,600t+0,250t^2
com t em segundos, θ em radianos e a posição angular zero indicada na figura.
Analise a cinemática do movimento.
O vetor velocidade instantânea \(\vec v_t\) de um objeto em movimento circular é sempre perpendicular ao vetor posição \(\vec r\) do objeto medida a partir do centro da trajetória circular e tangente à trajetória.
O vetor velocidade média \(\vec v_m\) de um objeto em movimento circular é sempre paralelo ao vetor deslocamento \(\Delta \vec r\) do objeto.
\vec r
\vec v
O
\hat r
\hat t
\vec r_f
\vec r_i
\Delta \vec r
\vec v_m
O
\hat r
\hat t
\hat r
\hat t
\vec r_f
\vec r_i
\Delta \vec r
\vec v_m
O
O
\hat r
\hat t
\hat r
\hat t
Os vetores velocidade média e velocidada tangengial instantânea.
O movimento circular
Forças e movimento circular
A magnitude da força necessária para fazer um objeto mover em movimento circular à rapidez constante depende da rapidez do objeto e o raio da trajetória.
A força para dentro necessária para fazer um objeto se mover em movimento circular aumenta com o aumento da rapidez e diminui com o aumento do raio.
A força centrípeta é função da massa, da velocidade tangencial e do raio.
A magnitude da força centrípeta:
\frac{|\Delta \vec r|}{r} = \frac{|\Delta \vec v_t|}{v_t}
\Rightarrow a_c =\frac{v_t^2}{r}
\Rightarrow \frac{|\Delta \vec v_t|}{\Delta t} = \frac{v_t}{r}\frac{|\Delta \vec r|}{\Delta t}
F_c = m a_c
\Rightarrow F_c = m \frac{v_t^2}{r}
Fonte: Eric Mazur
Fonte: Eric Mazur
Quando os dois discos se movem a mesma rapidez sobre círculos de raios diferentes
o disco no círculo menor tem maior variação da velocidade em um dado intervalo de tempo.
Sobre a massa há apenas duas forças: Tração \(\vec T\) de direção e magnitudes que variam e Peso \(\vec P\) de direção e magnitudes que não variam.
No referencial adotado as forças peso e tração têm as seguintes componentes:
P_{tan} = P \text{sen}\theta
P_{rad} = P \text{cos}\theta
T_{tan} = 0
T_{rad} = T
A força resultante ao longo da trajetória é \(P_{\tan}\).
-mg\text{sen}(\theta)=ma_t
A força resultante normal à trajetória é \(T-P_{rad}\).
T-mg\cos(\theta)=m\frac{v_t^2}{r}
\(W\) é a força peso (weight)
Forças e movimento circular
Exemplo 3: Pêndulo simples
tangencialradialEm cada direção as forças não são constantes.
Fonte: https://pin.it/2SEybXWForças e movimento circular
Exemplo 2 (A11.P1-10)
componente horizontal da tensão
\vec T_x
componente vertical da tensão
\vec T_y
\vec a_c
x
y
contato
\vec F^c_{cb}=\vec T
\vec P
peso
F_{cp}=ma_c
T_x=ma_c
A componente horizontal da força de contato da corda (c) sobre a bola (e).
A força centrípeta se deve:
A força centrípeta é igual à componente horizontal da força de tensão:
v_t = \sqrt{\frac{r g} {\tan(\theta)}}
\theta
r=2 \text{m}
F^c_{cb}\sin\theta= mg
\(\rightarrow \theta\) não pode ser zero!
F^c_{cb}\cos\theta= ma_{cp}
\tan(\theta) =\frac{rg}{v_t^2}
Forças e movimento circular
Exemplo 1 (A11.P1-11)
Fonte: https://www.nicepng.com
A componente horizontal da força de contato da superfície (s) sobre a moto (m) - força de atrito
A força centrípeta se deve:
F_{cp}= ma_c
x
y
\vec a_c
normal
\vec N
contato
\vec F^c_{sm}
atrito estático
\vec F^{at}
peso
\vec P
F^{at}=ma_c
A força centrípeta é igual à força de atrito estático que permite fazer a curva.
v_t = \sqrt{\mu_e r g}
r=\frac{v_t^2}{\mu_eg}
\mu_e=\frac{v_t^2}{rg}
F^{at}=m\frac{v_t^2}{r}
r=2 \text{m}
\tan(\theta) =\frac{v_t^2}{rg}
\theta
\mu_e = \tan(\theta)
F^c_{sm}\cos\theta = mg
F^c_{sm}\sin\theta = ma_{cp}
FM - Aula 09
By Ronai Lisboa
FM - Aula 09
Dinâmica. Aplicações das leis de Newton. Movimento curvilíneo. Força centrípeta.
