El criterio de estabilidad de Lyapunov
IE3041 - Sistemas de Control 2
El concepto más importante en sistemas de control
cualidad interna de sistemas dinámicos
evolución a largo plazo sin resolver la ED
estrechamente relacionada al control
cualidad interna de sistemas dinámicos
evolución a largo plazo sin resolver la ED
estrechamente relacionada al control
Aleksandr Lyapunov
Conjuntos invariantes y límite
sistemas no lineales
Conjuntos invariantes y límite
sistemas no lineales
diversos comportamientos en el espacio de estados
Conjuntos invariantes y límite
sistemas no lineales
diversos comportamientos en el espacio de estados
NO existe una noción global de estabilidad
Conjuntos invariantes y límite
sistemas no lineales
diversos comportamientos en el espacio de estados
NO existe una noción global de estabilidad
(sólo local)
Conjuntos invariantes y límite
sistemas no lineales
diversos comportamientos en el espacio de estados
NO existe una noción global de estabilidad
(sólo local)
"estabilidad de comportamientos"
requiere definir conjuntos especiales
Conjunto invariante positivo
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
Conjunto invariante positivo
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
x0∈O
\mathbf{x}_0 \in \mathcal{O}
Conjunto invariante positivo
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
x0∈O
\mathbf{x}_0 \in \mathcal{O}
⇒x(t)∈O ∀t≥0
\Rightarrow \mathbf{x}(t) \in \mathcal{O} \ \forall t \ge 0
Conjunto límite−ω
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
Conjunto límite−ω
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
Conjunto límite−ω
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
t→∞lim∥x(t)∥O=0
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0
Conjunto límite−ω
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
t→∞lim∥x(t)∥O=0
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0
distancia hacia el conjunto
puede ser en tiempo finito
Conjunto límite−ω
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
t→∞lim∥x(t)∥O=0
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0
distancia hacia el conjunto
puede ser en tiempo finito
conjunto invariante positivo atractor
Conjunto límite−α
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
Conjunto límite−α
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
Conjunto límite−α
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
t→∞lim∥x(t)∥O=∞
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=\infty
x0
\mathbf{x}_0
Conjunto límite−α
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
t→∞lim∥x(t)∥O=∞
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=\infty
x0
\mathbf{x}_0
t→0lim∥x(t)∥O=0
\displaystyle\lim_{t\to 0} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0
Conjunto límite−α
x1
x_1
x2
x_2
O
\mathcal{O}
x0
\mathbf{x}_0
t→∞lim∥x(t)∥O=∞
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=\infty
conjunto repulsor
x0
\mathbf{x}_0
t→0lim∥x(t)∥O=0
\displaystyle\lim_{t\to 0} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0
Algunos ejemplos de conjuntos de interés
Órbita periódica
Ej. péndulo simple
ie3041_clase4_periodic_orbit
Órbita periódica
Ej. péndulo simple
conjunto invariante positivo
ie3041_clase4_periodic_orbit
Ciclo límite
ie3041_clase4_limit_cycle
Ej. oscilador de Van der Pol
Ciclo límite
Ej. oscilador de Van der Pol
conjunto límite−ω (atractor, asumiendo t>0)
ie3041_clase4_limit_cycle
órbita periódica atractora
Ciclo límite
Ej. oscilador de Van der Pol
conjunto límite−ω (atractor, asumiendo t>0)
ie3041_clase4_limit_cycle
órbita periódica atractora
también existen ciclos límite repulsores, aunque no son tan comunes
Atractor extraño
Ej. sistema de Lorenz
conjunto límite−ω
(con estructura fractal)
ie3041_clase4_strange_attractor
sistemas caóticos
Puntos fijos o de equilibrio
Ej. sistema LTI 1
ie3041_clase4_fixed_point1
Puntos fijos o de equilibrio
Ej. sistema LTI 1
conjunto límite−ω
(atractor)
ie3041_clase4_fixed_point1
Puntos fijos o de equilibrio
Ej. sistema LTI 2
ie3041_clase4_fixed_point2
Puntos fijos o de equilibrio
Ej. sistema LTI 2
conjunto límite−α
(repulsor)
ie3041_clase4_fixed_point2
Puntos fijos o de equilibrio
Ej. sistema LTI 2
conjunto límite−α
(repulsor)
ie3041_clase4_fixed_point2
el criterio de estabilidad se planteó originalmente para puntos de equilibrio
Estabilidad en el sentido de Lyapunov
∥x0−x∗∥<δ⇒∥x(t)−x∗∥<ε ∀t≥0
\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\
\Rightarrow \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|<\varepsilon \ \forall t\ge 0
(localmente) estable
∥x0−x∗∥<δ⇒∥x(t)−x∗∥<ε ∀t≥0
\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\
\Rightarrow \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|<\varepsilon \ \forall t\ge 0
∥x0−x∗∥<δ⇒t→∞lim∥x(t)−x∗∥=0
\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\
\Rightarrow \displaystyle\lim_{t\to\infty} \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|=0
(localmente) asintóticamente estable (A.S.)
∥x0−x∗∥<δ⇒t→∞lim∥x(t)−x∗∥=0
\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\
\Rightarrow \displaystyle\lim_{t\to\infty} \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|=0
inestable
si NO es estable
exponencialmente estable
(caso especial de A.S.)
∥x0−x∗∥<δ⇒∥x(t)−x∗∥<Me−αt∥x0−x∗∥∀t≥0
\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\
\Rightarrow \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|< M e^{-\alpha t} \left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\| \\
\forall t\ge 0
Caso especial: sistemas LTI
x˙=f(x)=Ax
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{A}\mathbf{x}
Caso especial: sistemas LTI
x˙=f(x)=Ax
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{A}\mathbf{x}
f(x∗)=0⇒Ax∗=0
\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^*\right)=\mathbf{0} \quad \Rightarrow \mathbf{A}\mathbf{x}^*=\mathbf{0}
Caso especial: sistemas LTI
x˙=f(x)=Ax
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{A}\mathbf{x}
f(x∗)=0⇒Ax∗=0
\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^*\right)=\mathbf{0} \quad \Rightarrow \mathbf{A}\mathbf{x}^*=\mathbf{0}
x∗=0 único punto de equilibrio*
*excluyendo al espacio nulo de A
por lo tanto, toda condición de estabilidad es global para sistemas LTI
por lo tanto, toda condición de estabilidad es global para sistemas LTI
estabilidad del sistema LTI ⇔ estabilidad del punto x∗=0
por lo tanto, toda condición de estabilidad es global para sistemas LTI
estabilidad del sistema LTI ⇔ estabilidad del punto x∗=0
SIN EXCEPCIONES
la estabilidad de x∗=0 depende únicamente de σ(A)≡ los eigenvalores de A
la estabilidad de x∗=0 depende únicamente de σ(A)≡ los eigenvalores de A
¿Por qué?
la estabilidad de x∗=0 depende únicamente de σ(A)≡ los eigenvalores de A
¿Por qué?
σ(A)≡polos del sistema
\sigma\left(\mathbf{A}\right) \equiv \text{polos del sistema}
polos = eig(A)
la estabilidad de x∗=0 depende únicamente de σ(A)≡ los eigenvalores de A
¿Por qué?
σ(A)≡polos del sistema
\sigma\left(\mathbf{A}\right) \equiv \text{polos del sistema}
polos = eig(A)
luego de lo cual aplican los mismos* criterios que en control clásico
mismos*, aunque podemos ser más específicos:
el caso de asintóticamente estable se promueve a Globalmente Exponencialmente Asintóticamente Estable (G.A.S.)
mismos*, aunque podemos ser más específicos:
marginalmente/críticamente estable requiere que los polos con Re(λ)=0 tengan multiplicidad algebráica unitaria
para este caso también t→∞limx(t)∈N(A)
Estabilidad BIBO
sistema de control BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) estable si
∥u(t)∥≤M⇒∥y(t)∥≤N ∀t≥0
\left\|\mathbf{u}(t)\right\|\le M \quad \Rightarrow \left\|\mathbf{y}(t)\right\|\le N \ \forall t\ge 0
Estabilidad BIBO
sistema de control BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) estable si
sistema LTI G.A.S. ⇔ sistema LTI BIBO estable*
*casi siempre
∥u(t)∥≤M⇒∥y(t)∥≤N ∀t≥0
\left\|\mathbf{u}(t)\right\|\le M \quad \Rightarrow \left\|\mathbf{y}(t)\right\|\le N \ \forall t\ge 0
¿Estabilidad en sistemas no lineales?
¿Estabilidad en sistemas no lineales?
diversos comportamientos
⇒ "diversas estabilidades"
¿Estabilidad en sistemas no lineales?
diversos comportamientos
⇒ "diversas estabilidades"
Idea
empleemos sistemas LTI para "capturar las estabilidades"
¿Estabilidad en sistemas no lineales?
diversos comportamientos
⇒ "diversas estabilidades"
Idea
empleemos sistemas LTI para "capturar las estabilidades"
esto se conoce como el método indirecto de Lyapunov
El teorema de Hartman-Grobman
"El comportamiento local de un sistema dinámico no lineal alrededor de un punto de equilibrio hiperbólico, es cualitativamente el mismo que el de su linealización alrededor de dicho punto de equilibrio."
El teorema de Hartman-Grobman
"El comportamiento local de un sistema dinámico no lineal alrededor de un punto de equilibrio hiperbólico, es cualitativamente el mismo que el de su linealización alrededor de dicho punto de equilibrio."
El método indirecto de Lyapunov
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
El método indirecto de Lyapunov
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
(x∗,u∗) o (xss,uss)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\
\left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
El método indirecto de Lyapunov
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
(x∗,u∗) o (xss,uss)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\
\left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
z˙=Az+Bvw˙=Cz+Dv
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\
\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}
linealización
El método indirecto de Lyapunov
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
(x∗,u∗) o (xss,uss)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\
\left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
z˙=Az+Bvw˙=Cz+Dv
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\
\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}
linealización
G.A.S
A.S
El método indirecto de Lyapunov
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
(x∗,u∗) o (xss,uss)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\
\left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
z˙=Az+Bvw˙=Cz+Dv
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\
\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}
linealización
G.A.S
A.S
inestable
inestable
El método indirecto de Lyapunov
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
(x∗,u∗) o (xss,uss)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\
\left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
z˙=Az+Bvw˙=Cz+Dv
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\
\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}
linealización
G.A.S
A.S
inestable
inestable
punto hiperbólico
El método indirecto de Lyapunov
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
(x∗,u∗) o (xss,uss)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\
\left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
z˙=Az+Bvw˙=Cz+Dv
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\
\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}
linealización
marginalmente estable
G.A.S
A.S
inestable
inestable
???
punto hiperbólico
Ejemplo: estabilidad péndulo invertido
x˙=[x2(g/ℓ)sin(x1)−(b/mℓ2)x2]
\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} x_2 \\ (g/\ell)\sin(x_1)-(b/m\ell^2)x_2 \end{bmatrix}
Ejemplo: estabilidad péndulo invertido
x˙=[x2(g/ℓ)sin(x1)−(b/mℓ2)x2]
\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} x_2 \\ (g/\ell)\sin(x_1)-(b/m\ell^2)x_2 \end{bmatrix}
x1∗=[00]
\mathbf{x}^*_1=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
x2∗=[π0]
\mathbf{x}^*_2=\begin{bmatrix} \pi \\ 0 \end{bmatrix}
(localmente) inestable
localmente A.S.
>> ie3041_clase4_invpend.mlx
El criterio de estabilidad de Lyapunov IE3041 - Sistemas de Control 2
IE3041 - Lecture 4 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
IE3041 - Lecture 4 (2025)
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