El criterio de estabilidad de Lyapunov

IE3041 - Sistemas de Control 2

El concepto más importante en sistemas de control

cualidad interna de sistemas dinámicos

 

evolución a largo plazo sin resolver la ED

 

estrechamente relacionada al control

cualidad interna de sistemas dinámicos

 

evolución a largo plazo sin resolver la ED

 

estrechamente relacionada al control

Aleksandr Lyapunov

Conjuntos invariantes y límite

sistemas no lineales

Conjuntos invariantes y límite

sistemas no lineales

diversos comportamientos en el espacio de estados

Conjuntos invariantes y límite

sistemas no lineales

diversos comportamientos en el espacio de estados

NO existe una noción global de estabilidad

Conjuntos invariantes y límite

sistemas no lineales

diversos comportamientos en el espacio de estados

NO existe una noción global de estabilidad

(sólo local)

Conjuntos invariantes y límite

sistemas no lineales

diversos comportamientos en el espacio de estados

NO existe una noción global de estabilidad

(sólo local)

"estabilidad de comportamientos"

requiere definir conjuntos especiales

Conjunto invariante positivo

x_1
x_2
\mathcal{O}

Conjunto invariante positivo

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_0 \in \mathcal{O}

Conjunto invariante positivo

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_0 \in \mathcal{O}
\Rightarrow \mathbf{x}(t) \in \mathcal{O} \ \forall t \ge 0

Conjunto límite\(-\omega\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0

Conjunto límite\(-\omega\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0

Conjunto límite\(-\omega\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0

Conjunto límite\(-\omega\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0

distancia hacia el conjunto

puede ser en tiempo finito

Conjunto límite\(-\omega\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0

distancia hacia el conjunto

puede ser en tiempo finito

conjunto invariante positivo atractor

Conjunto límite\(-\alpha\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0

Conjunto límite\(-\alpha\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0

Conjunto límite\(-\alpha\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=\infty
\mathbf{x}_0

Conjunto límite\(-\alpha\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=\infty
\mathbf{x}_0
\displaystyle\lim_{t\to 0} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0

Conjunto límite\(-\alpha\)

x_1
x_2
\mathcal{O}
\mathbf{x}_0
\displaystyle\lim_{t\to\infty} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=\infty

conjunto repulsor

\mathbf{x}_0
\displaystyle\lim_{t\to 0} \|\mathbf{x}(t)\|_\mathcal{O}=0

Algunos ejemplos de conjuntos de interés

Órbita periódica

Ej. péndulo simple

ie3041_clase4_periodic_orbit

Órbita periódica

Ej. péndulo simple

conjunto invariante positivo

ie3041_clase4_periodic_orbit

Ciclo límite

ie3041_clase4_limit_cycle

Ej. oscilador de Van der Pol

Ciclo límite

Ej. oscilador de Van der Pol

conjunto límite\(-\omega\) (atractor, asumiendo \(t>0\))

ie3041_clase4_limit_cycle

órbita periódica atractora

Ciclo límite

Ej. oscilador de Van der Pol

conjunto límite\(-\omega\) (atractor, asumiendo \(t>0\))

ie3041_clase4_limit_cycle

órbita periódica atractora

también existen ciclos límite repulsores, aunque no son tan comunes

Atractor extraño

Ej. sistema de Lorenz

conjunto límite\(-\omega\)

(con estructura fractal)

ie3041_clase4_strange_attractor

sistemas caóticos

Puntos fijos o de equilibrio

Ej. sistema LTI 1

ie3041_clase4_fixed_point1

Puntos fijos o de equilibrio

Ej. sistema LTI 1

conjunto límite\(-\omega\)

(atractor)

ie3041_clase4_fixed_point1

Puntos fijos o de equilibrio

Ej. sistema LTI 2

ie3041_clase4_fixed_point2

Puntos fijos o de equilibrio

Ej. sistema LTI 2

conjunto límite\(-\alpha\)

(repulsor)

ie3041_clase4_fixed_point2

Puntos fijos o de equilibrio

Ej. sistema LTI 2

conjunto límite\(-\alpha\)

(repulsor)

ie3041_clase4_fixed_point2

el criterio de estabilidad se planteó originalmente para puntos de equilibrio

Estabilidad en el sentido de Lyapunov

\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\ \Rightarrow \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|<\varepsilon \ \forall t\ge 0

(localmente) estable

\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\ \Rightarrow \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|<\varepsilon \ \forall t\ge 0
\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\ \Rightarrow \displaystyle\lim_{t\to\infty} \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|=0

(localmente) asintóticamente estable (A.S.)

\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\ \Rightarrow \displaystyle\lim_{t\to\infty} \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|=0

inestable

si NO es estable

exponencialmente estable

(caso especial de A.S.)

\left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\|<\delta \\ \Rightarrow \left\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\right\|< M e^{-\alpha t} \left\|\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^*\right\| \\ \forall t\ge 0

Caso especial: sistemas LTI

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{A}\mathbf{x}

Caso especial: sistemas LTI

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{A}\mathbf{x}
\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^*\right)=\mathbf{0} \quad \Rightarrow \mathbf{A}\mathbf{x}^*=\mathbf{0}

Caso especial: sistemas LTI

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{A}\mathbf{x}
\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^*\right)=\mathbf{0} \quad \Rightarrow \mathbf{A}\mathbf{x}^*=\mathbf{0}

\(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\)  único punto de equilibrio*

*excluyendo al espacio nulo de \(\mathbf{A}\)

por lo tanto, toda condición de estabilidad es global para sistemas LTI

por lo tanto, toda condición de estabilidad es global para sistemas LTI

estabilidad del sistema LTI \(\Leftrightarrow\) estabilidad del punto \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\)

por lo tanto, toda condición de estabilidad es global para sistemas LTI

estabilidad del sistema LTI \(\Leftrightarrow\) estabilidad del punto \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\)

SIN EXCEPCIONES

la estabilidad de \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) depende únicamente de \(\sigma\left(\mathbf{A}\right)\equiv\) los eigenvalores de \(\mathbf{A}\)

la estabilidad de \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) depende únicamente de \(\sigma\left(\mathbf{A}\right)\equiv\) los eigenvalores de \(\mathbf{A}\)

¿Por qué?

la estabilidad de \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) depende únicamente de \(\sigma\left(\mathbf{A}\right)\equiv\) los eigenvalores de \(\mathbf{A}\)

¿Por qué?

\sigma\left(\mathbf{A}\right) \equiv \text{polos del sistema}
polos = eig(A)

la estabilidad de \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) depende únicamente de \(\sigma\left(\mathbf{A}\right)\equiv\) los eigenvalores de \(\mathbf{A}\)

¿Por qué?

\sigma\left(\mathbf{A}\right) \equiv \text{polos del sistema}
polos = eig(A)

luego de lo cual aplican los mismos* criterios que en control clásico

mismos*, aunque podemos ser más específicos:

el caso de asintóticamente estable se promueve a Globalmente Exponencialmente Asintóticamente Estable (G.A.S.)

mismos*, aunque podemos ser más específicos:

marginalmente/críticamente estable requiere que los polos con \(\mathrm{Re}(\lambda)=0\) tengan multiplicidad algebráica unitaria

 

para este caso también \(\displaystyle\lim_{t\to\infty} \mathbf{x}(t) \in \mathcal{N}\left(\mathbf{A}\right)\)

Estabilidad BIBO

sistema de control BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) estable si

\left\|\mathbf{u}(t)\right\|\le M \quad \Rightarrow \left\|\mathbf{y}(t)\right\|\le N \ \forall t\ge 0

Estabilidad BIBO

sistema de control BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) estable si

sistema LTI G.A.S. \(\Leftrightarrow\) sistema LTI BIBO estable*

*casi siempre

\left\|\mathbf{u}(t)\right\|\le M \quad \Rightarrow \left\|\mathbf{y}(t)\right\|\le N \ \forall t\ge 0

¿Estabilidad en sistemas no lineales?

¿Estabilidad en sistemas no lineales?

diversos comportamientos

\(\Rightarrow\) "diversas estabilidades"

¿Estabilidad en sistemas no lineales?

diversos comportamientos

\(\Rightarrow\) "diversas estabilidades"

Idea

empleemos sistemas LTI para "capturar las estabilidades"

¿Estabilidad en sistemas no lineales?

diversos comportamientos

\(\Rightarrow\) "diversas estabilidades"

Idea

empleemos sistemas LTI para "capturar las estabilidades"

esto se conoce como el método indirecto de Lyapunov

El teorema de Hartman-Grobman

"El comportamiento local de un sistema dinámico no lineal alrededor de un punto de equilibrio hiperbólico, es cualitativamente el mismo que el de su linealización alrededor de dicho punto de equilibrio."

El teorema de Hartman-Grobman

"El comportamiento local de un sistema dinámico no lineal alrededor de un punto de equilibrio hiperbólico, es cualitativamente el mismo que el de su linealización alrededor de dicho punto de equilibrio."

El método indirecto de Lyapunov

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)

El método indirecto de Lyapunov

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\ \left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)

El método indirecto de Lyapunov

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\ \left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\ \dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}

linealización

El método indirecto de Lyapunov

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\ \left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\ \dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}

linealización

G.A.S

A.S

El método indirecto de Lyapunov

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\ \left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\ \dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}

linealización

G.A.S

A.S

inestable

inestable

El método indirecto de Lyapunov

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\ \left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\ \dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}

linealización

G.A.S

A.S

inestable

inestable

punto hiperbólico

El método indirecto de Lyapunov

\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\ \mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\ \left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\ \dot{\mathbf{w}}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}

linealización

marginalmente estable

G.A.S

A.S

inestable

inestable

???

punto hiperbólico

Ejemplo: estabilidad péndulo invertido

\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} x_2 \\ (g/\ell)\sin(x_1)-(b/m\ell^2)x_2 \end{bmatrix}

Ejemplo: estabilidad péndulo invertido

\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} x_2 \\ (g/\ell)\sin(x_1)-(b/m\ell^2)x_2 \end{bmatrix}
\mathbf{x}^*_1=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\mathbf{x}^*_2=\begin{bmatrix} \pi \\ 0 \end{bmatrix}

(localmente) inestable

localmente A.S.

>> ie3041_clase4_invpend.mlx