Lección 3: Modelado de sistemas mecánicos lineales
IE3036 - Sistemas de Control 1
2do ciclo, 2024
¿Por qué?
Sistemas de parámetro concentrado
Elementos (lineales) básicos
+
Leyes fundamentales
Ejemplo: circuitos eléctricos
Ejemplo: circuitos eléctricos
Leyes de Kirchhoff
\displaystyle\sum_{\textrm{malla}}v_i = 0
\displaystyle\sum_{\textrm{nodo}}i_j = 0
Sistemas mecánicos traslacionales
\displaystyle\sum_{i}f_i = M\ddot{x}
Segunda Ley de Newton
¿Cuál es el modelo del sistema?
G(s)=\dfrac{X(s)}{F(s)}
f(t)
M
K
f_v
x(t)
\left(Ms^2+f_vs+K\right)X(s)=F(s)
G(s)=\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{1}{Ms^2+f_vs+K}
v=iR \qquad \Rightarrow V(s)=I(s)Z(s)
\left(Ms^2+f_vs+K\right)X(s)=F(s)
G(s)=\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{1}{Ms^2+f_vs+K}
v=iR \qquad \Rightarrow V(s)=I(s)Z(s)
impedancia mecánica \(Z_M\)
El método de impedancias
Válido para \(N\) masas, aunque se presenta \(N=2\) como ejemplo
M_1: \quad \left(\displaystyle\sum_{x_1}Z_M(s)\right)X_1(s)-\left(\displaystyle\sum_{x_1 \text{ y } x_2}Z_M(s)\right)X_2(s)=\displaystyle\sum_{x_1}F(s)
M_2: \quad \left(\displaystyle\sum_{x_2}Z_M(s)\right)X_2(s)-\left(\displaystyle\sum_{x_2 \text{ y } x_1}Z_M(s)\right)X_1(s)=\displaystyle\sum_{x_2}F(s)
Aplique el método de impedancias
f(t)
M_1
K_1
f_{v_3}
x_1
M_2
M_3
x_2
x_3
K_2
f_{v_4}
f_{v_1}
f_{v_2}
\left(K_1+K_2+f_{v_1}s+f_{v_3}s+M_1s^2\right)X_1(s)-\left(K_2\right)X_2(s)-\left(f_{v_3}s\right)X_3(s)=0
M_1:
\left(K_2+f_{v_2}s+f_{v_4}s+M_2s^2\right)X_2(s)-\left(K_2\right)X_1(s)-\left(f_{v_4}s\right)X_3(s)=F(s)
\left(f_{v_3}s+f_{v_4}s+M_3s^2\right)X_3(s)-\left(f_{v_3}s\right)X_1(s)-\left(f_{v_4}s\right)X_2(s)=0
M_2:
M_3:
1/4 de la masa del automóvil
M_1
M_2
K_1
K_2
f_v
f
x_1
x_2
suspensión
rueda
llanta
superficie del camino
¿G(s)=\dfrac{X_2(s)}{F(s)}?
modelo de 1/4 de carro
Ejemplo de aplicación
X_2(s)=G_2(s)X_1(s)
X_1(s)=G_3(s)X_2(s)+G_1(s)F(s)
\dfrac{f_vs+K_1}{M_2s^2+f_vs+K_1}
\dfrac{f_vs+K_1}{M_1s^2+f_vs+K_1+K_2}
\dfrac{1}{M_1s^2+f_vs+K_1+K_2}
X_1
F
X_2
+
G_3
G_1
G_2
>> clase3_suspension.m
X_1
F
X_2
+
G_3
G_1
G_2
>> clase3_suspension.m
¿Qué ocurrió con la gravedad?
Ejercicio 1
Aplique el método de impedancias
f
1 \text{ kg}
1 \text{ kg}
1 \text{ N/m}
1 \text{ N-s/m}
Sistemas mecánicos rotacionales
\displaystyle\sum_{i}T_i = J\ddot{\theta}
Segunda Ley de Newton (rotacional)
T
\theta_1
K
D_1
J_1
J_2
D_2
\theta_2
cojinete
torsión
J_1: \quad \left(K+D_1s+J_1s^2\right)\Theta_1(s)-\left(K\right)\Theta_2(s)=\Tau(s)
J_2: \quad \left(K+D_2s+J_2s^2\right)\Theta_2(s)-\left(K\right)\Theta_1(s)=0
G(s)=\dfrac{\Theta_2(s)}{\Tau(s)}=\cdots=\dfrac{G_1(s)G_2(s)}{1-G_2(s)G_3(s)}
misma estructura que el problema de suspensión
Sistemas con engranajes
\dfrac{\theta_2}{\theta_1}=\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{N_1}{N_2}
\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\theta_1}{\theta_2}=\dfrac{N_2}{N_1}
Sistemas con engranajes
\dfrac{\theta_2}{\theta_1}=\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{N_1}{N_2}
\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\theta_1}{\theta_2}=\dfrac{N_2}{N_1}
Asumiendo engranajes estándar, lubricados y sin backlash.
Elimine la reducción de engranajes
motor
T_1
K
J
D
\theta_1
N_2
N_1
\theta_2
potencia
carga
Reflejo de impedancias
por lo general buscando llevar las impedancias de la carga a la potencia
Z_{\mathrm{eq}}=\left(\dfrac{\text{\# dientes engranaje, eje destino}}{\text{\# dientes engranajes, eje fuente}}\right)^2 Z_{\mathrm{original}}
Sistemas mixtos
\dot{x}=r\dot{\theta}
x=r\theta
X(s)=r\Theta(s)
T=fr
\Tau(s)=F(s)r
Ejercicio 2
Aplique el método de impedancias
T
\theta_1
1
1
1
1
\theta_2
IE3036 - Lecture 3 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
