Lección 3: Modelado de sistemas mecánicos lineales

IE3036 - Sistemas de Control 1

2do ciclo, 2024

¿Por qué?

Sistemas de parámetro concentrado

Elementos (lineales) básicos

+

Leyes fundamentales

Ejemplo: circuitos eléctricos

Ejemplo: circuitos eléctricos

Leyes de Kirchhoff

\displaystyle\sum_{\textrm{malla}}v_i = 0
\displaystyle\sum_{\textrm{nodo}}i_j = 0

Sistemas mecánicos traslacionales

\displaystyle\sum_{i}f_i = M\ddot{x}

Segunda Ley de Newton

¿Cuál es el modelo del sistema?

G(s)=\dfrac{X(s)}{F(s)}
f(t)
M
K
f_v
x(t)
\left(Ms^2+f_vs+K\right)X(s)=F(s)
G(s)=\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{1}{Ms^2+f_vs+K}
v=iR \qquad \Rightarrow V(s)=I(s)Z(s)
\left(Ms^2+f_vs+K\right)X(s)=F(s)
G(s)=\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{1}{Ms^2+f_vs+K}
v=iR \qquad \Rightarrow V(s)=I(s)Z(s)

impedancia mecánica \(Z_M\)

El método de impedancias

Válido para \(N\) masas, aunque se presenta \(N=2\) como ejemplo

M_1: \quad \left(\displaystyle\sum_{x_1}Z_M(s)\right)X_1(s)-\left(\displaystyle\sum_{x_1 \text{ y } x_2}Z_M(s)\right)X_2(s)=\displaystyle\sum_{x_1}F(s)
M_2: \quad \left(\displaystyle\sum_{x_2}Z_M(s)\right)X_2(s)-\left(\displaystyle\sum_{x_2 \text{ y } x_1}Z_M(s)\right)X_1(s)=\displaystyle\sum_{x_2}F(s)

Aplique el método de impedancias

f(t)
M_1
K_1
f_{v_3}
x_1
M_2
M_3
x_2
x_3
K_2
f_{v_4}
f_{v_1}
f_{v_2}
\left(K_1+K_2+f_{v_1}s+f_{v_3}s+M_1s^2\right)X_1(s)-\left(K_2\right)X_2(s)-\left(f_{v_3}s\right)X_3(s)=0
M_1:
\left(K_2+f_{v_2}s+f_{v_4}s+M_2s^2\right)X_2(s)-\left(K_2\right)X_1(s)-\left(f_{v_4}s\right)X_3(s)=F(s)
\left(f_{v_3}s+f_{v_4}s+M_3s^2\right)X_3(s)-\left(f_{v_3}s\right)X_1(s)-\left(f_{v_4}s\right)X_2(s)=0
M_2:
M_3:

1/4 de la masa del automóvil

M_1
M_2
K_1
K_2
f_v
f
x_1
x_2

suspensión

rueda

llanta

superficie del camino

¿G(s)=\dfrac{X_2(s)}{F(s)}?

modelo de 1/4 de carro

Ejemplo de aplicación

X_2(s)=G_2(s)X_1(s)
X_1(s)=G_3(s)X_2(s)+G_1(s)F(s)
\dfrac{f_vs+K_1}{M_2s^2+f_vs+K_1}
\dfrac{f_vs+K_1}{M_1s^2+f_vs+K_1+K_2}
\dfrac{1}{M_1s^2+f_vs+K_1+K_2}
X_1
F
X_2
+
G_3
G_1
G_2

>> clase3_suspension.m

X_1
F
X_2
+
G_3
G_1
G_2

>> clase3_suspension.m

¿Qué ocurrió con la gravedad?

Ejercicio 1

Aplique el método de impedancias

f
1 \text{ kg}
1 \text{ kg}
1 \text{ N/m}
1 \text{ N-s/m}

Sistemas mecánicos rotacionales

\displaystyle\sum_{i}T_i = J\ddot{\theta}

Segunda Ley de Newton (rotacional)

T
\theta_1
K
D_1
J_1
J_2
D_2
\theta_2

cojinete

torsión

J_1: \quad \left(K+D_1s+J_1s^2\right)\Theta_1(s)-\left(K\right)\Theta_2(s)=\Tau(s)
J_2: \quad \left(K+D_2s+J_2s^2\right)\Theta_2(s)-\left(K\right)\Theta_1(s)=0
G(s)=\dfrac{\Theta_2(s)}{\Tau(s)}=\cdots=\dfrac{G_1(s)G_2(s)}{1-G_2(s)G_3(s)}

misma estructura que el problema de suspensión

Sistemas con engranajes

\dfrac{\theta_2}{\theta_1}=\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{N_1}{N_2}
\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\theta_1}{\theta_2}=\dfrac{N_2}{N_1}

Sistemas con engranajes

\dfrac{\theta_2}{\theta_1}=\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{N_1}{N_2}
\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\theta_1}{\theta_2}=\dfrac{N_2}{N_1}

Asumiendo engranajes estándar, lubricados y sin backlash.

Elimine la reducción de engranajes

motor

T_1
K
J
D
\theta_1
N_2
N_1
\theta_2

potencia

carga

Reflejo de impedancias

por lo general buscando llevar las impedancias de la carga a la potencia

Z_{\mathrm{eq}}=\left(\dfrac{\text{\# dientes engranaje, eje destino}}{\text{\# dientes engranajes, eje fuente}}\right)^2 Z_{\mathrm{original}}

Sistemas mixtos

\dot{x}=r\dot{\theta}
x=r\theta
X(s)=r\Theta(s)
T=fr
\Tau(s)=F(s)r

Ejercicio 2

Aplique el método de impedancias

T
\theta_1
1
1
1
1
\theta_2