IE3036 - Sistemas de Control 1
2do ciclo, 2024
Lección 16: Diseño directo de controladores digitales
Partiendo de la segunda topología
+
-
control
ref.
DAC
planta
sensor
salida
ADC
microcontrolador | computadora
+
-
control
ref.
DAC
planta
sensor
salida
ADC
sensor digital
sólo esta no se digitaliza
muestreador ficticio
T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)
T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)
equivalente ZOH de la planta
\equiv G(z)
La combinación DAC + \(G(s)\) + ADC es (analíticamente) equivalente a la planta digital \(G(z)\).
T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)
equivalente ZOH de la planta
\equiv G(z)
La combinación DAC + \(G(s)\) + ADC es (analíticamente) equivalente a la planta digital \(G(z)\).
T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)
equivalente ZOH de la planta
De preferencia se emplea el equivalente ZOH, pero también puede usarse una aproximación numérica de la planta.
Aplicando la equivalencia:
Y(z)
C(z)
G(z)
H(z)
+
-
R(z)
Aplicando la equivalencia:
Y(z)
C(z)
G(z)
H(z)
+
-
R(z)
y la solución al problema de control se convierte en una puramente algebraica.
T(z)=\dfrac{Y(z)}{R(z)}=\dfrac{C(z)G(z)}{1+C(z)G(z)}=G_d(z)
¿Por qué es esto ahora posible?
T(z)=\dfrac{Y(z)}{R(z)}=\dfrac{C(z)G(z)}{1+C(z)G(z)}=G_d(z)
función de transferencia en lazo cerrado deseada
T(z)=\dfrac{Y(z)}{R(z)}=\dfrac{C(z)G(z)}{1+C(z)G(z)}=G_d(z)
función de transferencia en lazo cerrado deseada
\Rightarrow C(z)=\dfrac{1}{G(z)}\dfrac{G_d(z)}{1-G_d(z)}
El diseño directo se reduce a encontrar un \(C(z)\) implementable (estable + causal) tal que \(T(z)=G_d(z)\).
La metodología más popular para esto se conoce como el método de Ragazzini-Truxal.
Condiciones para la implementación de \(C(z)\)
Condición de causalidad
El exceso de polos sobre ceros de \(G_d(z)\) debe ser igual o mayor que el exceso de polos sobre ceros de \(G(z)\).
Condición de estabilidad interna
Todos los polos no estables de \(G(z)\) deben aparecer como ceros de \(1-G_d(z)\) y todos los ceros no estables de \(G(z)\) deben aparecer como ceros de \(G_d(z)\).
Condición de error en estado estable
Para un error de posición igual a cero:
G_d(z=1)=1
-T \left.\dfrac{dG_d(z)}{dz}\right\vert_{z=1}=0
Para un error de velocidad igual a cero:
Ejemplo
G(s)=\dfrac{-1}{s-1}
Emplee el método de Ragazzini-Truxal para diseñar un controlador digital \(C(z)\) que haga que la planta
presente polos en \(z=0\) y \(z=0.8\) y error de posición igual a cero, empleando un período de muestreo \(T\).
Ejemplo
G_d(z)=\dfrac{(e^T+1/5)z-e^T}{z(z-0.8)}
C(z)=\dfrac{1}{5(e^T-1)}\dfrac{-(1+5e^T)+5e^Tz^{-1}}{1-z^{-1}}
Control dead-beat
Resultado de llevar el método de Ragazzini-Truxal al extremo al seleccionar un sistema FIR de orden \(n\) como planta deseada.
G_d(z)=b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\cdots+b_Nz^{-N}
n = \mathrm{orden}\left\{G(z)\right\}
Control dead-beat
Resultado de llevar el método de Ragazzini-Truxal al extremo al seleccionar un sistema FIR de orden \(n\) como planta deseada.
G_d(z)=b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\cdots+b_Nz^{-N}
N=n
n = \mathrm{orden}\left\{G(z)\right\}
control dead-beat
Control dead-beat
C(z)=\dfrac{mD(z)}{z^n-mN(z)}
G(z)=\dfrac{N(z)}{D(z)}
m=\frac{1}{N(1)}=\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{i=0}^{n}b_i}=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^{n}b_i\right)^{-1}
Ejemplo
G(z)=\dfrac{b_0z+b_1}{z-a}
Determine el control que hace que el sistema discreto
presente un error de posición igual a cero en exactamente un período de muestreo \(T\).
Ejemplo
G(z)=\dfrac{b_0z+b_1}{z-a}
Determine el control que hace que el sistema discreto
presente un error de posición igual a cero en exactamente un período de muestreo \(T\).
C(z)=\dfrac{1-az^{-1}}{b_1-b_1z^{-1}}
IE3036 - Lecture 16 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
