IE3036 - Sistemas de Control 1

2do ciclo, 2024

Lección 16: Diseño directo de controladores digitales

Partiendo de la segunda topología

+
-

control

ref.

DAC

planta

sensor

salida

ADC

microcontrolador | computadora

+
-

control

ref.

DAC

planta

sensor

salida

ADC

sensor digital

sólo esta no se digitaliza

muestreador ficticio

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)
T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)

equivalente ZOH de la planta

\equiv G(z)

La combinación DAC + \(G(s)\) + ADC es (analíticamente) equivalente a la planta digital \(G(z)\).

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)

equivalente ZOH de la planta

\equiv G(z)

La combinación DAC + \(G(s)\) + ADC es (analíticamente) equivalente a la planta digital \(G(z)\).

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)

equivalente ZOH de la planta

De preferencia se emplea el equivalente ZOH, pero también puede usarse una aproximación numérica de la planta.

Aplicando la equivalencia:

Y(z)
C(z)
G(z)
H(z)
+
-
R(z)

Aplicando la equivalencia:

Y(z)
C(z)
G(z)
H(z)
+
-
R(z)

y la solución al problema de control se convierte en una puramente algebraica.

T(z)=\dfrac{Y(z)}{R(z)}=\dfrac{C(z)G(z)}{1+C(z)G(z)}=G_d(z)

¿Por qué es esto ahora posible?

T(z)=\dfrac{Y(z)}{R(z)}=\dfrac{C(z)G(z)}{1+C(z)G(z)}=G_d(z)

función de transferencia en lazo cerrado deseada

T(z)=\dfrac{Y(z)}{R(z)}=\dfrac{C(z)G(z)}{1+C(z)G(z)}=G_d(z)

función de transferencia en lazo cerrado deseada

\Rightarrow C(z)=\dfrac{1}{G(z)}\dfrac{G_d(z)}{1-G_d(z)}

El diseño directo se reduce a encontrar un \(C(z)\) implementable (estable + causal) tal que \(T(z)=G_d(z)\).

 

La metodología más popular para esto se conoce como el método de Ragazzini-Truxal.

Condiciones para la implementación de \(C(z)\)

Condición de causalidad

El exceso de polos sobre ceros de \(G_d(z)\) debe ser igual o mayor que el exceso de polos sobre ceros de \(G(z)\).

Condición de estabilidad interna

Todos los polos no estables de \(G(z)\) deben aparecer como ceros de \(1-G_d(z)\) y todos los ceros no estables de \(G(z)\) deben aparecer como ceros de \(G_d(z)\).

Condición de error en estado estable

Para un error de posición igual a cero:

G_d(z=1)=1
-T \left.\dfrac{dG_d(z)}{dz}\right\vert_{z=1}=0

Para un error de velocidad igual a cero:

Ejemplo

G(s)=\dfrac{-1}{s-1}

Emplee el método de Ragazzini-Truxal para diseñar un controlador digital \(C(z)\) que haga que la planta

presente polos en \(z=0\) y \(z=0.8\) y error de posición igual a cero, empleando un período de muestreo \(T\).

Ejemplo

G_d(z)=\dfrac{(e^T+1/5)z-e^T}{z(z-0.8)}
C(z)=\dfrac{1}{5(e^T-1)}\dfrac{-(1+5e^T)+5e^Tz^{-1}}{1-z^{-1}}

Control dead-beat

Resultado de llevar el método de Ragazzini-Truxal al extremo al seleccionar un sistema FIR de orden \(n\) como planta deseada.

G_d(z)=b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\cdots+b_Nz^{-N}
n = \mathrm{orden}\left\{G(z)\right\}

Control dead-beat

Resultado de llevar el método de Ragazzini-Truxal al extremo al seleccionar un sistema FIR de orden \(n\) como planta deseada.

G_d(z)=b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\cdots+b_Nz^{-N}
N=n
n = \mathrm{orden}\left\{G(z)\right\}

control dead-beat

Control dead-beat

C(z)=\dfrac{mD(z)}{z^n-mN(z)}
G(z)=\dfrac{N(z)}{D(z)}
m=\frac{1}{N(1)}=\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{i=0}^{n}b_i}=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^{n}b_i\right)^{-1}

Ejemplo

G(z)=\dfrac{b_0z+b_1}{z-a}

Determine el control que hace que el sistema discreto

presente un error de posición igual a cero en exactamente un período de muestreo \(T\).

Ejemplo

G(z)=\dfrac{b_0z+b_1}{z-a}

Determine el control que hace que el sistema discreto

presente un error de posición igual a cero en exactamente un período de muestreo \(T\).

C(z)=\dfrac{1-az^{-1}}{b_1-b_1z^{-1}}