Singularidades, manipulabilidad y estática de manipuladores seriales
MT3005 - Robótica 1
Ya con el jacobiano calculado,
¿De qué nos sirve?
el jacobiano representa cómo un cambio en la configuración se convierte en un cambio en la pose del efector final
Cinemática diferencial inversa
el jacobiano representa cómo un cambio en la configuración se convierte en un cambio en la pose del efector final
Cinemática diferencial inversa
{^B}\boldsymbol{\mathcal{V}}_E=\begin{bmatrix} {^B}\mathbf{v}_E \\ {^B}\boldsymbol{\omega}_{BE} \end{bmatrix}
=\mathbf{J}(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}}
sin embargo, lo que realmente buscamos es controlar manipuladores seriales
Cinemática diferencial inversa
sin embargo, lo que realmente buscamos es controlar manipuladores seriales
Cinemática diferencial inversa
\(\Rightarrow\) cinemática inversa
sin embargo, lo que realmente buscamos es controlar manipuladores seriales
Cinemática diferencial inversa
\(\Rightarrow\) cinemática inversa
¿Por qué entonces nuestro interés por el jacobiano?
porque a diferencia de la cinemática directa, el mapeo diferencial inverso es sencillo*
Cinemática diferencial inversa
\dot{\mathbf{q}}=
\mathbf{J}^{-1}(\mathbf{q}){^B}\boldsymbol{\mathcal{V}}_E
porque a diferencia de la cinemática directa, el mapeo diferencial inverso es sencillo*
Cinemática diferencial inversa
\dot{\mathbf{q}}=
\mathbf{J}^{-1}(\mathbf{q}){^B}\boldsymbol{\mathcal{V}}_E
* siempre y cuando el jacobiano sea cuadrado e invertible
\(\mathcal{T}: (x,y)\) \(\Rightarrow\) jacobiano de posición
Ejemplo: manipulador RR
\(\mathcal{T}: (x,y)\) \(\Rightarrow\) jacobiano de posición
\mathbf{J}_v\left(\mathbf{q}\right)=
\begin{bmatrix} -a_1\sin(q_1) - a_2\sin(q_1+q_2) & - a_2\sin(q_1+q_2) \\ a_1\cos(q_1) + a_2\cos(q_1+q_2) & a_2\cos(q_1+q_2) \end{bmatrix}
Ejemplo: manipulador RR
\(\mathcal{T}: (x,y)\) \(\Rightarrow\) jacobiano de posición
\mathbf{J}_v\left(\mathbf{q}\right)=
\begin{bmatrix} -a_1\sin(q_1) - a_2\sin(q_1+q_2) & - a_2\sin(q_1+q_2) \\ a_1\cos(q_1) + a_2\cos(q_1+q_2) & a_2\cos(q_1+q_2) \end{bmatrix}
como el jacobiano es cuadrado, puede emplearse la fórmula de inversión de matrices \(2 \times 2\) para obtener...
Ejemplo: manipulador RR
\mathbf{J}^{-1}_v\left(\mathbf{q}\right)=
\dfrac{1}{a_1a_2\sin(q_2)}
\begin{bmatrix} a_2\cos(q_1+q_2) & a_2\sin(q_1+q_2) \\ -a_1\cos(q_1)-a_2\cos(q_1+q_2) & -a_1\sin(q_1)-a_2\sin(q_1+q_2) \end{bmatrix}
Ejemplo: manipulador RR
existen configuraciones en donde, a pesar de ser cuadrado, el jacobiano NO es invertible
\mathbf{J}^{-1}_v\left(\mathbf{q}\right)=
\dfrac{1}{a_1a_2\sin(q_2)}
\begin{bmatrix} a_2\cos(q_1+q_2) & a_2\sin(q_1+q_2) \\ -a_1\cos(q_1)-a_2\cos(q_1+q_2) & -a_1\sin(q_1)-a_2\sin(q_1+q_2) \end{bmatrix}
\(\mathbf{J}_v^{-1} \to \infty\) cuando \(q_2\to 0\)
Ejemplo: manipulador RR
existen configuraciones en donde, a pesar de ser cuadrado, el jacobiano NO es invertible
\mathbf{J}^{-1}_v\left(\mathbf{q}\right)=
\dfrac{1}{a_1a_2\sin(q_2)}
\begin{bmatrix} a_2\cos(q_1+q_2) & a_2\sin(q_1+q_2) \\ -a_1\cos(q_1)-a_2\cos(q_1+q_2) & -a_1\sin(q_1)-a_2\sin(q_1+q_2) \end{bmatrix}
\(\mathbf{J}_v^{-1} \to \infty\) cuando \(q_2\to 0\)
en estas configuraciones el jacobiano presenta una singularidad cinemática
Ejemplo: manipulador RR
Singularidades
(matemáticamente) una singularidad ocurre cuando el jacobiano es singular
\mathbf{J}(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{6 \times n}
Singularidades
(matemáticamente) una singularidad ocurre cuando el jacobiano es singular
\mathbf{J}(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{6 \times n}
sin embargo, invertibilidad \(\Rightarrow\) jacobiano cuadrado
\(\Rightarrow\) depende de \(\mathcal{K}\) y el número de juntas
Singularidades
bajo la perspectiva de robótica, en las singularidades:
- La movilidad del robot se ve reducida
- Pueden existir infinitas soluciones para la cinemática inversa
- Pequeñas velocidades en \(\mathcal{T}\) pueden implicar velocidades grandes en \(\mathcal{C}\)
Singularidades de frontera
Ocurren cuando el robot se encuentra totalmente estirado o retraído. Pueden evitarse siempre que se garantice que el robot trabaje dentro de los límites de su espacio de trabajo.
Singularidades de frontera
Ocurren cuando el robot se encuentra totalmente estirado o retraído. Pueden evitarse siempre que se garantice que el robot trabaje dentro de los límites de su espacio de trabajo.
Ocurren cuando se pierden GDL al alinearse los ejes de movimiento. Constituyen un problema serio ya que ocurren dentro del espacio de trabajo.
Singularidades internas
Ocurren cuando se pierden GDL al alinearse los ejes de movimiento. Constituyen un problema serio ya que ocurren dentro del espacio de trabajo.
Singularidades internas
Ocurren cuando se pierden GDL al alinearse los ejes de movimiento. Constituyen un problema serio ya que ocurren dentro del espacio de trabajo.
Singularidades internas
Singularidades internas
Ocurren cuando se pierden GDL al alinearse los ejes de movimiento. Constituyen un problema serio ya que ocurren dentro del espacio de trabajo.
¿Forma fácil de obtener y visualizar las consecuencias de las singularidades?
\(\Rightarrow\) elipsoides de manipulabilidad
Elipsoides de velocidad
(hiper-esfera unitaria)
\|\dot{\mathbf{q}}\|_2^2=\dot{\mathbf{q}}^\top\dot{\mathbf{q}}=1
Elipsoides de velocidad
(hiper-esfera unitaria)
\|\dot{\mathbf{q}}\|_2^2=\dot{\mathbf{q}}^\top\dot{\mathbf{q}}=1
\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{J}_v^{-1}(\mathbf{q}){^B}\mathbf{v}_E
\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{J}_\omega^{-1}(\mathbf{q}){^B}\boldsymbol{\omega}_{BE}
{^B}\mathbf{v}^\top_E \left( \mathbf{J}_v(\mathbf{q}) \mathbf{J}^\top_v(\mathbf{q}) \right)^{-1} {^B}\mathbf{v}_E \\
\equiv {^B}\mathbf{v}^\top_E \mathbf{A}_v^{-1} {^B}\mathbf{v}_E =1
{^B}\boldsymbol{\omega}^\top_{BE} \left( \mathbf{J}_\omega(\mathbf{q}) \mathbf{J}^\top_\omega(\mathbf{q}) \right)^{-1} {^B}\boldsymbol{\omega}_{BE} \\
\equiv {^B}\boldsymbol{\omega}^\top_{BE} \mathbf{A}_\omega^{-1} {^B}\boldsymbol{\omega}_{BE} =1
Elipsoides de velocidad
(hiper-esfera unitaria)
\|\dot{\mathbf{q}}\|_2^2=\dot{\mathbf{q}}^\top\dot{\mathbf{q}}=1
\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{J}_v^{-1}(\mathbf{q}){^B}\mathbf{v}_E
\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{J}_\omega^{-1}(\mathbf{q}){^B}\boldsymbol{\omega}_{BE}
{^B}\mathbf{v}^\top_E \left( \mathbf{J}_v(\mathbf{q}) \mathbf{J}^\top_v(\mathbf{q}) \right)^{-1} {^B}\mathbf{v}_E \\
\equiv {^B}\mathbf{v}^\top_E \mathbf{A}_v^{-1} {^B}\mathbf{v}_E =1
{^B}\boldsymbol{\omega}^\top_{BE} \left( \mathbf{J}_\omega(\mathbf{q}) \mathbf{J}^\top_\omega(\mathbf{q}) \right)^{-1} {^B}\boldsymbol{\omega}_{BE} \\
\equiv {^B}\boldsymbol{\omega}^\top_{BE} \mathbf{A}_\omega^{-1} {^B}\boldsymbol{\omega}_{BE} =1
elipsoides en el espacio de tarea
Análisis estático de manipuladores
Análisis estático de manipuladores
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{J}^\top(\mathbf{q}){^B}\boldsymbol{\mathcal{F}}_E
Análisis estático de manipuladores
\boldsymbol{\tau}=\begin{bmatrix} \tau_1 & \cdots & \tau_n \end{bmatrix}^\top
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{J}^\top(\mathbf{q}){^B}\boldsymbol{\mathcal{F}}_E
torques suministrados por los actuadores en las juntas
Análisis estático de manipuladores
\boldsymbol{\tau}=\begin{bmatrix} \tau_1 & \cdots & \tau_n \end{bmatrix}^\top
{^B}\boldsymbol{\mathcal{F}}_E=\begin{bmatrix} {^B}\mathbf{f}_E \\ {^B}\boldsymbol{\mu}_E \end{bmatrix}
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{J}^\top(\mathbf{q}){^B}\boldsymbol{\mathcal{F}}_E
torques suministrados por los actuadores en las juntas
fuerza espacial (wrench) en
(o generada por) el efector final
Elipsoides de fuerza
(hiper-esfera unitaria)
\|\boldsymbol{\tau}\|_2^2=\boldsymbol{\tau}^\top\boldsymbol{\tau}=1
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{J}_v^\top(\mathbf{q}){^B}\mathbf{f}_E
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{J}_\omega^\top(\mathbf{q}){^B}\boldsymbol{\mu}_E
{^B}\mathbf{f}_E^\top \left( \mathbf{J}_v(\mathbf{q}) \mathbf{J}^\top_v(\mathbf{q}) \right) {^B}\mathbf{f}_E \\
\equiv {^B}\mathbf{f}_E^\top \mathbf{A}_v {^B}\mathbf{f}_E =1
{^B}\boldsymbol{\mu}_E^\top \left( \mathbf{J}_\omega(\mathbf{q}) \mathbf{J}^\top_\omega(\mathbf{q}) \right) {^B}\boldsymbol{\mu}_E \\
\equiv {^B}\boldsymbol{\mu}_E^\top \mathbf{A}_\omega {^B}\boldsymbol{\mu}_E =1
inversas de los elipsoides de velocidad
Elipsoides de manipulabilidad
los cuatro elipsoides presentan la forma
nos dicen cómo puede moverse y qué fuerzas (y momentos) puede ejercer el manipulador para cierta configuración \(\mathbf{q}\)
Elipsoides de manipulabilidad
los cuatro elipsoides presentan la forma
\(v_1, v_2, v_3, ..., v_n\) son los eigenvectores y \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, ..., \lambda_n\) los eigenvalores de la matriz \(\mathbf{A}\) o \(\mathbf{A}^{-1}\) que dependen de cada uno de los jacobianos
Elipsoides de manipulabilidad
los cuatro elipsoides presentan la forma
\(v_1, v_2, v_3, ..., v_n\) son los eigenvectores y \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, ..., \lambda_n\) los eigenvalores de la matriz \(\mathbf{A}\) o \(\mathbf{A}^{-1}\) que dependen de cada uno de los jacobianos
>> mt3005_clase7_elipsoides.mlx
Medida de manipulabilidad
volumen del elipsoide
\(\approx\) medida global de la habilidad de manipulación
\(\propto\) manipulabilidad de Yoshikawa
Medida de manipulabilidad
volumen del elipsoide
\(\approx\) medida global de la habilidad de manipulación
\(\propto\) manipulabilidad de Yoshikawa
m_v(\mathbf{q})=\sqrt{\mathrm{det}\left(\mathbf{J}_v(\mathbf{q})\mathbf{J}^\top_v(\mathbf{q})\right)}
m_\omega(\mathbf{q})=\sqrt{\mathrm{det}\left(\mathbf{J}_\omega(\mathbf{q})\mathbf{J}^\top_\omega(\mathbf{q})\right)}
Medida de manipulabilidad
volumen del elipsoide
\(\approx\) medida global de la habilidad de manipulación
\(\propto\) manipulabilidad de Yoshikawa
m_v(\mathbf{q})=\sqrt{\mathrm{det}\left(\mathbf{J}_v(\mathbf{q})\mathbf{J}^\top_v(\mathbf{q})\right)}
m_\omega(\mathbf{q})=\sqrt{\mathrm{det}\left(\mathbf{J}_\omega(\mathbf{q})\mathbf{J}^\top_\omega(\mathbf{q})\right)}
m(\mathbf{q})=\sqrt{\mathrm{det}\left(\mathbf{J}(\mathbf{q})\mathbf{J}^\top(\mathbf{q})\right)}
\}
existen análogos para los elipsoides de fuerza
\dot{\mathbf{q}} \in \mathbb{R}^n
{^B}\boldsymbol{{\mathcal{V}}}_E \in \mathbb{R}^r
Imagen y espacio nulo del jacobiano
\dot{\mathbf{q}} \in \mathbb{R}^n
\mathcal{R}\left(\mathbf{J}\right)
{^B}\boldsymbol{{\mathcal{V}}}_E \in \mathbb{R}^r
\mathbf{J}\left(\mathbf{q}\right)
Imagen y espacio nulo del jacobiano
\dot{\mathbf{q}} \in \mathbb{R}^n
\mathcal{R}\left(\mathbf{J}\right)
{^B}\boldsymbol{{\mathcal{V}}}_E \in \mathbb{R}^r
\mathbf{0}
\mathbf{J}\left(\mathbf{q}\right)
Imagen y espacio nulo del jacobiano
\dot{\mathbf{q}} \in \mathbb{R}^n
\mathcal{N}\left(\mathbf{J}\right)
\mathcal{R}\left(\mathbf{J}\right)
{^B}\boldsymbol{{\mathcal{V}}}_E \in \mathbb{R}^r
\mathbf{0}
\mathbf{J}\left(\mathbf{q}\right)
\(\dim\left(\mathcal{R}\left(\mathbf{J}\right)\right)+\dim\left(\mathcal{N}\left(\mathbf{J}\right)\right)=n\)
\boldsymbol{\tau} \in \mathbb{R}^n
{^B}\boldsymbol{{\mathcal{F}}}_E \in \mathbb{R}^r
Imagen y espacio nulo del jacobiano
\boldsymbol{\tau} \in \mathbb{R}^n
\mathcal{R}\left(\mathbf{J}^\top\right)
{^B}\boldsymbol{{\mathcal{F}}}_E \in \mathbb{R}^r
\mathbf{J}^\top\left(\mathbf{q}\right)
Imagen y espacio nulo del jacobiano
\boldsymbol{\tau} \in \mathbb{R}^n
\mathcal{R}\left(\mathbf{J}^\top\right)
{^B}\boldsymbol{{\mathcal{F}}}_E \in \mathbb{R}^r
\mathbf{0}
\mathbf{J}^\top\left(\mathbf{q}\right)
Imagen y espacio nulo del jacobiano
\boldsymbol{\tau} \in \mathbb{R}^n
\mathcal{N}\left(\mathbf{J}^\top\right)
\mathcal{R}\left(\mathbf{J}^\top\right)
{^B}\boldsymbol{{\mathcal{F}}}_E \in \mathbb{R}^r
\mathbf{0}
\mathbf{J}^\top\left(\mathbf{q}\right)
Imagen y espacio nulo del jacobiano
recordemos que un manipulador sea redundante para una tarea implica que posee más grados de libertad que los que requiere la tarea
Redundancia y el espacio nulo
recordemos que un manipulador sea redundante para una tarea implica que posee más grados de libertad que los que requiere la tarea
Redundancia y el espacio nulo
\(\Rightarrow\) puede alcanzar una pose dada de efector final con más de una configuración
recordemos que un manipulador sea redundante para una tarea implica que posee más grados de libertad que los que requiere la tarea
Redundancia y el espacio nulo
\(\Rightarrow\) puede alcanzar una pose dada de efector final con más de una configuración
\Rightarrow \mathcal{N}\left(\mathbf{J}\right) \neq \{\varnothing\}
Redundancia y el espacio nulo
recordemos que un manipulador sea redundante para una tarea implica que posee más grados de libertad que los que requiere la tarea
\(\Rightarrow\) puede alcanzar una pose dada de efector final con más de una configuración
\Rightarrow \mathcal{N}\left(\mathbf{J}\right) \neq \{\varnothing\}
¿Por qué?
si podemos encontrar una matriz de proyección \(\mathbf{N}\) tal que \(\mathcal{N}(\mathbf{J})\equiv \mathcal{R}(\mathbf{N})\), es posible emplear como velocidad de configuración el vector:
\dot{\mathbf{q}}^*=\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{N}\dot{\mathbf{q}}_0
si podemos encontrar una matriz de proyección \(\mathbf{N}\) tal que \(\mathcal{N}(\mathbf{J})\equiv \mathcal{R}(\mathbf{N})\), es posible emplear como velocidad de configuración el vector:
\dot{\mathbf{q}}^*=\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{N}\dot{\mathbf{q}}_0
\Rightarrow \mathbf{J}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}^*=\mathbf{J}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{J}(\mathbf{q})\mathbf{N}\dot{\mathbf{q}}_0 \\
={^B}\boldsymbol{\mathcal{V}}_E+\mathbf{0}={^B}\boldsymbol{\mathcal{V}}_E
es decir, puede emplearse el vector \(\dot{\mathbf{q}}_0\) para reconfigurar internamente al manipulador sin cambiar la pose del efector final
\dot{\mathbf{q}}^*=\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{N}\dot{\mathbf{q}}_0
\Rightarrow \mathbf{J}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}^*=\mathbf{J}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{J}(\mathbf{q})\mathbf{N}\dot{\mathbf{q}}_0 \\
={^B}\boldsymbol{\mathcal{V}}_E+\mathbf{0}={^B}\boldsymbol{\mathcal{V}}_E
MT3005 - Lecture 7 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
