Estabilización de sistemas LTI
IE3041 - Sistemas de Control 2
¿Qué tenemos hasta el momento?
x_1
x_2
Estabilidad en sistemas no lineales
x_1
x_2
Estabilidad en sistemas no lineales
x_1
x_2
Estabilidad en sistemas no lineales
x_1
x_2
Estabilidad en sistemas no lineales
x_1
x_2
región de atracción
Estabilidad en sistemas no lineales
x_1
x_2
Estabilidad en sistemas no lineales
x_1
x_2
Estabilidad en sistemas no lineales
x_1
x_2
Estabilidad en sistemas no lineales
\mathbf{x}_0
Control bajo esta perspectiva
\mathbf{x}_0
Control bajo esta perspectiva
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_{ss}
Control bajo esta perspectiva
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_{ss}
si podemos codificar una tarea u objetivo mediante un punto de equilibrio o de operación...
Control bajo esta perspectiva
x_1
x_2
\mathbf{x}_0
Control bajo esta perspectiva
\mathbf{x}_0
\mathbf{x}_{ss}
si podemos codificar una tarea u objetivo mediante un punto de equilibrio o de operación...
...¿Qué debería hacer el control?
Control bajo esta perspectiva
x_1
x_2
\mathbf{x}_0
Control bajo esta perspectiva
x_1
x_2
\mathbf{x}_0
Control bajo esta perspectiva
garantizar que el punto de equilibrio u operación sea (localmente) asintóticamente estable
\mathbf{x}_0
Control bajo esta perspectiva
\(\Rightarrow\) problema de estabilización
garantizar que el punto de equilibrio u operación sea (localmente) asintóticamente estable
Control bajo esta perspectiva
\mathbf{x}_0
El problema de estabilización
¿Cómo hago para que el sistema llegue al equilibrio?
¿Cómo hago para que el sistema llegue al equilibrio?
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{0}
¿Cómo hago para que el sistema llegue al equilibrio?
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{0}
Estabilización
\left(\mathbf{x}^*, \mathbf{u}^*\right), \ \mathbf{u}^*=\mathbf{0}
¿Cómo hago para que el sistema llegue al equilibrio?
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{0}
Estabilización
\left(\mathbf{x}^*, \mathbf{u}^*\right), \ \mathbf{u}^*=\mathbf{0}
Regulación
\left(\mathbf{x}_{ss}, \mathbf{u}_{ss}\right), \ \mathbf{u}_{ss}\ne \mathbf{0}
referencia constante en control clásico
en control clásico, el controlador responde a ¿Cómo hago que el sistema presente cierto comportamiento deseado?
Estabilización vs control clásico
¿En qué se parece y en qué difiere esta perspectiva con la de estabilización?
Estabilización vs control clásico
en control clásico, el controlador responde a ¿Cómo hago que el sistema presente cierto comportamiento deseado?
controlador
sensor
PID | Lead-Lag
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{-}
salida
referencia
controlador
sensor
PID | Lead-Lag
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{-}
salida
referencia
r
e
u
y
e=r-y
u=\mathrm{PID}(e)
u=\mathrm{Lead-Lag}(e)
e=r-y
\Rightarrow e=f(y)
cte. (regulación)
u=\mathrm{PID}(e)
u=\mathrm{Lead-Lag}(e)
e=r-y
u=f(y)
\Rightarrow e=f(y)
retroalimentación de salida
(output feedback)
cte. (regulación)
¿Será que hacer output feedback es la mejor idea en control moderno?
¿Será que hacer output feedback es la mejor idea en control moderno?
controlador
sensor
PID | Lead-Lag
\mathbf{x}
\dot{\mathbf{x}}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{-}
salida
referencia
r
e
u
y
¿Será que hacer output feedback es la mejor idea en control moderno?
controlador
sensor
PID | Lead-Lag
\mathbf{x}
\dot{\mathbf{x}}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{-}
salida
referencia
r
e
u
y
en general
\(\dim(\mathbf{x}) \ge \dim(\mathbf{y})\)
¿Será que hacer output feedback es la mejor idea en control moderno?
controlador
sensor
PID | Lead-Lag
\mathbf{x}
\dot{\mathbf{x}}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{-}
salida
referencia
r
e
u
y
en general
\(\dim(\mathbf{x}) \ge \dim(\mathbf{y})\)
NO, ya que tenemos a la mano el estado que provee más información que la salida
¿Será que hacer output feedback es la mejor idea en control moderno?
controlador
sensor
PID | Lead-Lag
\mathbf{x}
\dot{\mathbf{x}}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{-}
salida
referencia
r
e
u
y
en general
\(\dim(\mathbf{x}) \ge \dim(\mathbf{y})\)
NO, ya que tenemos a la mano el estado que provee más información que la salida
\(\Rightarrow\) retroalimentación de estado
(state feedback)
\mathbf{u} \equiv \mathbf{u}\left(\mathbf{x}\right)
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0\end{cases}
Estabilización con state feedback
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0\end{cases}
+ \\
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o } \left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
Estabilización con state feedback
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0\end{cases}
+ \\
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o } \left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}(\mathbf{x})\right)
Estabilización con state feedback
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0\end{cases}
+ \\
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o } \left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}, \mathbf{u}(\mathbf{x})\right)
encontrar, tal que
sea (localmente) asintóticamente estable
Estabilización con state feedback
lastimosamente este problema es muy general y difícil, y NO existe una solución definitiva
lastimosamente este problema es muy general y difícil, y NO existe una solución definitiva
Control óptimo
Data-driven control
Control robusto
Control no lineal
Control adaptable
lastimosamente este problema es muy general y difícil, y NO existe una solución definitiva
de nuevo tenemos que ser más específicos
Control óptimo
Data-driven control
Control robusto
Control no lineal
Control adaptable
Control lineal de sistemas LTI
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \\
\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0\end{cases}
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \\
\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0\end{cases}
+ \\
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) = \left(\mathbf{0},\mathbf{0}\right)
único punto de equilibrio
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \\
\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0\end{cases}
+ \\
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) = \left(\mathbf{0},\mathbf{0}\right)
único punto de equilibrio
estabilizar \(\equiv\) estabilizar el sistema
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \\
\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0\end{cases}
+ \\
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) = \left(\mathbf{0},\mathbf{0}\right)
único punto de equilibrio
estabilizar \(\equiv\) estabilizar el sistema
propuesta:
\mathbf{u}= \mathbf{u}\left(\mathbf{x}\right)= -\mathbf{K}\mathbf{x}, \\ \mathbf{K}\in\mathbb{R}^{m \times n}
(ctes.)
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{x}
state feedback
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
controlador lineal
state feedback
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
(-1)
controlador lineal
state feedback
retroalimentación negativa
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
(-1)
controlador lineal
state feedback
retroalimentación negativa
NO podemos acceder directamente a \(\mathbf{x}\)
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
(-1)
controlador lineal
state feedback
retroalimentación negativa
???
\mathbf{y}
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
(-1)
controlador lineal
state feedback
retroalimentación negativa
???
observador de estado
(más adelante)
\mathbf{y}
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
(-1)
controlador lineal
state feedback
retroalimentación negativa
???
observador de estado
(más adelante)
para diseño de control asumiremos que ya lo tenemos
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{B}\mathbf{K}\mathbf{x}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\mathbf{x}
\mathbf{u}\left(\mathbf{x}\right)=-\mathbf{K}\mathbf{x}
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{B}\mathbf{K}\mathbf{x}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\mathbf{x}
\mathbf{u}\left(\mathbf{x}\right)=-\mathbf{K}\mathbf{x}
\mathbf{A}_{c\ell}
\Rightarrow \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{x}
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{B}\mathbf{K}\mathbf{x}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\mathbf{x}
\mathbf{u}\left(\mathbf{x}\right)=-\mathbf{K}\mathbf{x}
\mathbf{A}_{c\ell}
\Rightarrow \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{x}
\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}_{c\ell}(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)
¿Qué debe cumplirse para que el sistema sea G.A.S.?
Dos preguntas fundamentales
¿Qué debe cumplirse para que el sistema sea G.A.S.?
los eigenvalores/polos de \(\mathbf{A}_{c\ell}\) estén todos en el lado izquierdo del plano complejo
\(\mathbf{A}_{c\ell}\) sea Hurwitz o matriz de estabilidad
\equiv
Dos preguntas fundamentales
¿Cuándo tiene solución el problema?
Dos preguntas fundamentales
¿Cuándo tiene solución el problema?
Dos preguntas fundamentales
cuando tenemos suficiente autoridad de control sobre él
¿Cuándo tiene solución el problema?
Dos preguntas fundamentales
cuando tenemos suficiente autoridad de control sobre él
\(\Rightarrow\) controlabilidad
¿Cómo sabemos que podemos controlar un sistema?
Controlabilidad
Teorema:
Controlabilidad
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{x}(t_0) \end{cases}
es completamente controlable (C.C.) ssi
Teorema:
Controlabilidad
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{x}(t_0) \end{cases}
es completamente controlable (C.C.) ssi
\mathrm{rank}\left(\mathbf{\Gamma}\right)=n
\mathbf{\Gamma}=\begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{A}\mathbf{B} & \mathbf{A}^2\mathbf{B} & \mathbf{A}^3\mathbf{B} & \cdots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B} \end{bmatrix}
matriz de controlabilidad del sistema
Teorema:
Controlabilidad
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{x}(t_0) \end{cases}
es completamente controlable (C.C.) ssi
\mathrm{rank}\left(\mathbf{\Gamma}\right)=n
\mathbf{\Gamma}=\begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{A}\mathbf{B} & \mathbf{A}^2\mathbf{B} & \mathbf{A}^3\mathbf{B} & \cdots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B} \end{bmatrix}
matriz de controlabilidad del sistema
Gamma = ctrb(A, B)
rank(Gamma)\text{¿Es } \quad \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \quad \text{ controlable?}
Ejemplo
\text{¿Es } \quad \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \quad \text{ controlable?}
Ejemplo
Sí, porque \(\mathrm{rank}(\Gamma)=2=n\).
Algunas observaciones adicionales
matriz \(\mathbf{B} \sim\) actuadores \(\sim \) controlabilidad
Algunas observaciones adicionales
matriz \(\mathbf{B} \sim\) actuadores \(\sim \) controlabilidad
\(\mathcal{R}\left(\mathbf{\Gamma}\right)\) subespacio alcanzable del sistema
todas las combinaciones posibles de las variables de estado que pueden obtenerse con la configuración de entradas actuales
\dot{\mathbf{x}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\mathbf{x}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{x}
si \(\left(\mathbf{A},\mathbf{B}\right)\) es un par C.C. y \(\mathbf{u}=-\mathbf{K}\mathbf{x}\), entonces
Estabilización de sistemas LTI
\dot{\mathbf{x}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\mathbf{x}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{x}
si \(\left(\mathbf{A},\mathbf{B}\right)\) es un par C.C. y \(\mathbf{u}=-\mathbf{K}\mathbf{x}\), entonces
¿Cómo seleccionar?
para que sea Hurwitz
Estabilización de sistemas LTI
\dot{\mathbf{x}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\mathbf{x}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{x}
si \(\left(\mathbf{A},\mathbf{B}\right)\) es un par C.C. y \(\mathbf{u}=-\mathbf{K}\mathbf{x}\), entonces
¿Cómo seleccionar?
para que sea Hurwitz
K = place(A, B, p)K = lqr(A, B, Q, R)Estabilización de sistemas LTI
Pole placement
Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
Pole placement
\mathrm{Re}(\lambda)
\mathrm{Im}(\lambda)
\mathrm{Re}(\lambda)
\mathrm{Im}(\lambda)
\mathrm{Re}(\lambda)
\mathrm{Im}(\lambda)
Seleccionamos \(n\) "polos favoritos | deseados" que correspondan a un sistema G.A.S. NOTA: pueden ser repetidos*, los polos complejos aparecen con sus conjugados.
p_1, p_2, \cdots, p_n
Seleccionamos \(n\) "polos favoritos | deseados" que correspondan a un sistema G.A.S. NOTA: pueden ser repetidos*, los polos complejos aparecen con sus conjugados.
p_1, p_2, \cdots, p_n
\varphi(\lambda)=(\lambda-p_1)(\lambda-p_2)\cdots (\lambda-p_n)
Generamos un polinomio de grado \(n\) con estos polos.
Igualamos el polinomio característico del sistema en lazo cerrado con el polinomio deseado, coeficiente por coeficiente.
\chi_{\mathbf{A}_{c\ell}}(\lambda)=\chi_{\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}}(\lambda)=\det\left(\lambda\mathbf{I}-\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\right)=\varphi(\lambda)
Igualamos el polinomio característico del sistema en lazo cerrado con el polinomio deseado, coeficiente por coeficiente.
\chi_{\mathbf{A}_{c\ell}}(\lambda)=\chi_{\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}}(\lambda)=\det\left(\lambda\mathbf{I}-\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\right)=\varphi(\lambda)
Nuestro sistema posee ahora los "polos favoritos | deseados".
Igualamos el polinomio característico del sistema en lazo cerrado con el polinomio deseado, coeficiente por coeficiente.
\chi_{\mathbf{A}_{c\ell}}(\lambda)=\chi_{\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}}(\lambda)=\det\left(\lambda\mathbf{I}-\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\right)=\varphi(\lambda)
Nuestro sistema posee ahora los "polos favoritos | deseados".
K = place(A, B, p)\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}u
Estabilice empleando pole placement:
Ejemplo
\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}u
Estabilice empleando pole placement:
Ejemplo
Al seleccionar \(p_1=p_2=-1\) se obtiene:
u=-\mathbf{K}\mathbf{x}=-\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=-k_1x_1-k_2x_2 \\
u=-3.5x_1-1.5x_2
¿Algo más complicado?
Ejemplo
>> ie3041_clase6_poleplacement.m
Más allá de pole placement
si bien pole placement funcionó adecuadamente para estabilizar sistemas LTI
si bien pole placement funcionó adecuadamente para estabilizar sistemas LTI
¿Cómo seleccionamos los "polos deseados" para obtener un buen rendimiento o cumplir con requerimientos de control?
si bien pole placement funcionó adecuadamente para estabilizar sistemas LTI
¿Cómo seleccionamos los "polos deseados" para obtener un buen rendimiento o cumplir con requerimientos de control?
sistemas SISO \(\rightarrow\) regiones de diseño
si bien pole placement funcionó adecuadamente para estabilizar sistemas LTI
¿Cómo seleccionamos los "polos deseados" para obtener un buen rendimiento o cumplir con requerimientos de control?
sistemas SISO \(\rightarrow\) regiones de diseño
sistemas MIMO \(\rightarrow\) ???
si bien pole placement funcionó adecuadamente para estabilizar sistemas LTI
¿Cómo seleccionamos los "polos deseados" para obtener un buen rendimiento o cumplir con requerimientos de control?
sistemas SISO \(\rightarrow\) regiones de diseño
sistemas MIMO \(\rightarrow\) ???
¿Qué tal si pudiésemos evaluar el rendimiento de la respuesta del sistema dada cierta selección de polos?
idea:
x_1
x_2
\mathbf{x}^*
\mathbf{x}_0
x_1
x_2
\mathbf{x}^*
\mathbf{x}_0
x_1
x_2
\mathbf{x}^*
\mathbf{x}_0
x_1
x_2
\mathbf{x}^*
\mathbf{x}_0
x_1
x_2
\mathbf{x}^*
\mathbf{x}_0
métrica de evaluación
x_1
x_2
\mathbf{x}^*
\mathbf{x}_0
métrica de evaluación
mejor rendimiento
x_1
x_2
\mathbf{x}^*
\mathbf{x}_0
métrica de evaluación
mejor rendimiento
respuesta óptima
control óptimo
\mathbf{u}^\star
\triangleq
\|\mathbf{x}(t)\|_2^2+\|\mathbf{u}(t)\|_2^2
métrica de evaluación
penalización
\triangleq
\|\mathbf{x}(t)\|_2^2+\|\mathbf{u}(t)\|_2^2
penaliza "inestabilidad" \(\equiv\) divergencia
penaliza uso excesivo de combustible control
métrica de evaluación
penalización
\triangleq
\|\mathbf{x}(t)\|_2^2+\|\mathbf{u}(t)\|_2^2
penaliza "inestabilidad" \(\equiv\) divergencia
penaliza uso excesivo de combustible control
aún podemos mejorarla
métrica de evaluación
penalización
\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)
\triangleq
métrica de evaluación
penalización
\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)
matriz de penalización
\(\mathbf{Q}\succ 0\)
matriz de penalización
\(\mathbf{R}\succ 0\)
\triangleq
métrica de evaluación
penalización
\(\mathbf{P}=\mathbf{P}^\top\succ 0\) matriz positiva definida
\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)
matriz de penalización
\(\mathbf{Q}\succ 0\)
matriz de penalización
\(\mathbf{R}\succ 0\)
\triangleq
métrica de evaluación
penalización
\mathbf{x}^\top\mathbf{P}\mathbf{x}>0, \quad \mathbf{x}\neq\mathbf{0} \\
\lambda_i>0, \quad \forall \lambda_i \in \sigma\left(\mathbf{P}\right)
(todos sus eigenvalores positivos)
\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)
matriz de penalización
\(\mathbf{Q}\succ 0\)
matriz de penalización
\(\mathbf{R}\succ 0\)
pero la métrica debe ser un escalar
\triangleq
métrica de evaluación
penalización
\displaystyle\int_{t_0}^{\infty} \left[\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)\right]dt
\triangleq
métrica de evaluación
penalización
\displaystyle\int_{t_0}^{\infty} \left[\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)\right]dt
horizonte infinito
\(\equiv\) estabilización asintótica
\triangleq
métrica de evaluación
penalización
\displaystyle\int_{t_0}^{\infty} \left[\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)\right]dt
esto ya es lo que estábamos buscando
horizonte infinito
\(\equiv\) estabilización asintótica
\triangleq
métrica de evaluación
penalización
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{\infty} \left[\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)\right]dt \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
El Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{\infty} \left[\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)\right]dt \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
restricciones
se restringe que el sistema evolucione según su dinámica
El Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{\infty} \left[\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)\right]dt \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
restricciones
se restringe que el sistema evolucione según su dinámica
control
óptimo
El Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{\infty} \left[\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)\right]dt \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
este problema es un caso especial de un problema de control óptimo, que busca encontrar \(\left(\mathbf{x}^\star,\mathbf{u}^\star\right)\) mediante optimización
restricciones
se restringe que el sistema evolucione según su dinámica
control
óptimo
El Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
\begin{aligned}
\mathbf{u}^\star(t) = & \displaystyle\arg\min_{\mathbf{u(t)}} \displaystyle\int_{t_0}^{\infty} \left[\mathbf{x}(t)^\top \mathbf{Q}\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t)^\top \mathbf{R}\mathbf{u}(t)\right]dt \\
& \textrm{s.t.} \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
este problema es un caso especial de un problema de control óptimo, que busca encontrar \(\left(\mathbf{x}^\star,\mathbf{u}^\star\right)\) mediante optimización
\(\rightarrow\) retornaremos más adelante al caso general
restricciones
se restringe que el sistema evolucione según su dinámica
control
óptimo
El Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
resulta que, de forma increible, este problema presenta la solución en forma cerrada:
\mathbf{u}^\star=-\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}^\top\mathbf{P}\mathbf{x}=-\mathbf{K}\mathbf{x}
El Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
resulta que, de forma increible, este problema presenta la solución en forma cerrada:
\mathbf{u}^\star=-\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}^\top\mathbf{P}\mathbf{x}=-\mathbf{K}\mathbf{x}
Klqr = lqr(A, B, Q, R);state feedback LTI (!)
El Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
resulta que, de forma increible, este problema presenta la solución en forma cerrada:
\mathbf{u}^\star=-\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}^\top\mathbf{P}\mathbf{x}=-\mathbf{K}\mathbf{x}
state feedback LTI (!)
siempre y cuando...
El Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
Klqr = lqr(A, B, Q, R);- \(\mathbf{R}\succ 0\).
- \(\mathbf{Q}\succ 0\).
- El par \(\left(\mathbf{A}, \mathbf{B}\right)\) es C.C.
y en donde \(\mathbf{P}=\mathbf{P}^\top \succ 0\) es la solución de la Ecuación Algebráica de Riccati (ARE):
-\mathbf{A}^\top\mathbf{P}-\mathbf{P}\mathbf{A}-\mathbf{Q}+\mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}^\top\mathbf{P}=\mathbf{0}
P = are(A, B*R^(-1)*B', Q);1. Selección | diseño de las matrices \(\mathbf{Q}\) y \(\mathbf{R}\):
Uso y tuneo del LQR
1. Selección | diseño de las matrices \(\mathbf{Q}\) y \(\mathbf{R}\):
se inicia con la matriz identidad y se van modificando los valores de la diagonal para penalizar el comportamiento no deseado en variables de estado y entradas específicas
Uso y tuneo del LQR
1. Selección | diseño de las matrices \(\mathbf{Q}\) y \(\mathbf{R}\):
se inicia con la matriz identidad y se van modificando los valores de la diagonal para penalizar el comportamiento no deseado en variables de estado y entradas específicas
a valores más altos, más se penaliza
Uso y tuneo del LQR
1. Selección | diseño de las matrices \(\mathbf{Q}\) y \(\mathbf{R}\):
Uso y tuneo del LQR
\mathbf{Q}=\begin{bmatrix} \square & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \square & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \square \end{bmatrix}
x_1
x_1
x_2
x_2
x_n
x_n
\cdots
\vdots
1. Selección | diseño de las matrices \(\mathbf{Q}\) y \(\mathbf{R}\):
Uso y tuneo del LQR
\mathbf{Q}=\begin{bmatrix} \square & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \square & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \square \end{bmatrix}
x_1
x_1
x_2
x_2
x_n
x_n
\cdots
\vdots
penalización para \(x_2\)
1. Selección | diseño de las matrices \(\mathbf{Q}\) y \(\mathbf{R}\):
Uso y tuneo del LQR
penalización para \(u_1\)
\mathbf{R}=\begin{bmatrix} \square & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \square & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \square \end{bmatrix}
u_1
u_1
u_2
u_2
u_m
u_m
\cdots
\vdots
1. Selección | diseño de las matrices \(\mathbf{Q}\) y \(\mathbf{R}\):
Uso y tuneo del LQR
penalización para \(u_1\)
\mathbf{R}=\begin{bmatrix} \square & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \square & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \square \end{bmatrix}
u_1
u_1
u_2
u_2
u_m
u_m
\cdots
\vdots
usualmente no es necesario penalizar términos cruzados (fuera de la diagonal principal)
1. Selección | diseño de las matrices \(\mathbf{Q}\) y \(\mathbf{R}\):
Uso y tuneo del LQR
si "\(\mathbf{R}>>\mathbf{Q}\)" el control es caro, la métrica de evaluación se ve dominada por \(\mathbf{u}\) y el LQR minimiza la acción | esfuerzo de control en sí
1. Selección | diseño de las matrices \(\mathbf{Q}\) y \(\mathbf{R}\):
Uso y tuneo del LQR
si "\(\mathbf{R}>>\mathbf{Q}\)" el control es caro, la métrica de evaluación se ve dominada por \(\mathbf{u}\) y el LQR minimiza la acción | esfuerzo de control en sí
si "\(\mathbf{Q}>>\mathbf{R}\)" el control es barato, la métrica de evaluación se ve dominada por \(\mathbf{x}\) y no hay "ninguna" penalización por usar un \(\mathbf{u}\) grande
2. Penalización de salidas:
Uso y tuneo del LQR
2. Penalización de salidas:
Uso y tuneo del LQR
para los casos en donde se busque evaluar el rendimiento de las salidas en lugar de las variables de estado
\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}
\Rightarrow \mathbf{Q}=\mathbf{C}^\top\widetilde{\mathbf{Q}}\mathbf{C}
2. Penalización de salidas:
Uso y tuneo del LQR
para los casos en donde se busque evaluar el rendimiento de las salidas en lugar de las variables de estado
\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}
\Rightarrow \mathbf{Q}=\mathbf{C}^\top\widetilde{\mathbf{Q}}\mathbf{C}
penaliza las variables de salida
3. Ganancia estática y robustez:
Uso y tuneo del LQR
el LQR genera una matriz estática de constantes o ganancias
3. Ganancia estática y robustez:
Uso y tuneo del LQR
el LQR genera una matriz estática de constantes o ganancias
el LQR presenta* un margen de ganancia infinito y garantiza un margen de fase \(\ge 60^\circ\), lo cual coincide con criterios adecuados de diseño para sistemas de control
Comparemos el rendimiento del LQR con el de pole placement para el ejemplo del helicóptero
Ejemplo: vs pole placement
>> ie3041_clase6_lqr.m
IE3041 - Lecture 6 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
