Introducción a estabilidad para sistemas no lineales
IE3041 - Sistemas de Control 2
¿Cuándo falla el método indirecto?
cuando la matemática ya no es congruente con la intuición
Ejemplo
\dot{x}=f(x)=-x^3
¿Cuál es la estabilidad del origen \(x^*=0\)?
Ejemplo
\dot{x}=f(x)=-x^3
¿Cuál es la estabilidad del origen \(x^*=0\)?
consideremos primero analizar el sistema más simple
\dot{x}=-x
\dot{x}=-x
Ejemplo
único eigenvalor en \(\lambda=-1\) \(\ \Rightarrow \) origen G.A.S.
\dot{x}=-x
convergencia exponencial \(\ \Rightarrow x(t)=e^{-t}x_0\)
Ejemplo
por lo tanto, nuestra intuición apunta a que
\(\dot{x}=-x^3\) debe ser "super G.A.S."
único eigenvalor en \(\lambda=-1\) \(\ \Rightarrow \) origen G.A.S.
\dot{x}=-x
convergencia exponencial \(\ \Rightarrow x(t)=e^{-t}x_0\)
Ejemplo
sin embargo, ¿Qué dice el método indirecto?
Ejemplo
sin embargo, ¿Qué dice el método indirecto?
por lo que no puede concluirse nada a partir de la linealización
\dot{z}=\left. \dfrac{df(x)}{dx} \right\vert_{x=x^*}z=\left( \left.-3x^2\right\vert_{x=0} \right)z=0
Ejemplo
Ejemplo
sin embargo, ¿Qué dice el método indirecto?
por lo que no puede concluirse nada a partir de la linealización
\dot{z}=\left. \dfrac{df(x)}{dx} \right\vert_{x=x^*}z=\left( \left.-3x^2\right\vert_{x=0} \right)z=0
¿Qué ocurrió?
>> ie3041_clase5_intuicion1d.m
Hacia el método directo
si los polos no son una forma "natural" de analizar sistemas no lineales, ¿Qué si lo es?
Hacia el método directo
si los polos no son una forma "natural" de analizar sistemas no lineales, ¿Qué si lo es?
de nuevo tomemos como ejemplo el comportamiento del péndulo simple con fricción (normalizado y sin actuación)
Hacia el método directo
¿Qué tipo de estabilidad presenta su origen?
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=
\begin{bmatrix} x_2 \\ -\sin(x_1)-\gamma x_2\end{bmatrix}, \quad \gamma>0
Hacia el método directo
¿Qué tipo de estabilidad presenta su origen?
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=
\begin{bmatrix} x_2 \\ -\sin(x_1)-\gamma x_2\end{bmatrix}, \quad \gamma>0
intuitivamente, sabemos que conforme el tiempo avanza el péndulo tiende a dejar de oscilar y, eventualmente, llega al punto \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\)
Hacia el método directo
¿Qué tipo de estabilidad presenta su origen?
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=
\begin{bmatrix} x_2 \\ -\sin(x_1)-\gamma x_2\end{bmatrix}, \quad \gamma>0
intuitivamente, sabemos que conforme el tiempo avanza el péndulo tiende a dejar de oscilar y, eventualmente, llega al punto \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\)
\(\Rightarrow \mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) es localmente A. S.
Hacia el método directo
Físicamente | mecánicamente, ¿Cómo puede codificarse el comportamiento del sistema alrededor de este punto?
Hacia el método directo
Físicamente | mecánicamente, ¿Cómo puede codificarse el comportamiento del sistema alrededor de este punto?
Recordemos que el péndulo con fricción es un sistema no conservativo
Hacia el método directo
Físicamente | mecánicamente, ¿Cómo puede codificarse el comportamiento del sistema alrededor de este punto?
Recordemos que el péndulo con fricción es un sistema no conservativo
¿En qué? Energía
Hacia el método directo
Físicamente | mecánicamente, ¿Cómo puede codificarse el comportamiento del sistema alrededor de este punto?
Recordemos que el péndulo con fricción es un sistema no conservativo
¿En qué? Energía
Hacia el método directo
Físicamente | mecánicamente, ¿Cómo puede codificarse el comportamiento del sistema alrededor de este punto?
Recordemos que el péndulo con fricción es un sistema no conservativo
¿En qué? Energía
Por lo tanto, conforme el péndulo se acerca al origen este pierde energía
Hacia el método directo
Por lo tanto, conforme el péndulo se acerca al origen este pierde energía
¿Qué debería ocurrir en el origen?
Hacia el método directo
Por lo tanto, conforme el péndulo se acerca al origen este pierde energía
¿Qué debería ocurrir en el origen?
El péndulo debería quedarse sin energía
Hacia el método directo
Por lo tanto, conforme el péndulo se acerca al origen este pierde energía
¿Qué debería ocurrir en el origen?
El péndulo debería quedarse sin energía
Validemos esta intuición...
Intuición a partir de sistemas mecánicos
la energía total del péndulo está dada por
E\left(\mathbf{x}\right)=T\left(\mathbf{x}\right)+P\left(\mathbf{x}\right)
Intuición a partir de sistemas mecánicos
la energía total del péndulo está dada por
E\left(\mathbf{x}\right)=T\left(\mathbf{x}\right)+P\left(\mathbf{x}\right) \\
=\dfrac{1}{2}mv^2-mgh=\dfrac{1}{2}x_2^2-\cos(x_1)
Intuición a partir de sistemas mecánicos
la energía total del péndulo está dada por
E\left(\mathbf{x}\right)=T\left(\mathbf{x}\right)+P\left(\mathbf{x}\right) \\
=\dfrac{1}{2}mv^2-mgh=\dfrac{1}{2}x_2^2-\cos(x_1)
energía cinética
Intuición a partir de sistemas mecánicos
la energía total del péndulo está dada por
E\left(\mathbf{x}\right)=T\left(\mathbf{x}\right)+P\left(\mathbf{x}\right) \\
=\dfrac{1}{2}mv^2-mgh=\dfrac{1}{2}x_2^2-\cos(x_1)
energía potencial
Intuición a partir de sistemas mecánicos
la energía total del péndulo está dada por
E\left(\mathbf{x}\right)=T\left(\mathbf{x}\right)+P\left(\mathbf{x}\right) \\
=\dfrac{1}{2}mv^2-mgh=\dfrac{1}{2}x_2^2-\cos(x_1)
¿Energía en el origen? \(E(\mathbf{0})=-1\neq 0\)
Intuición a partir de sistemas mecánicos
la energía total del péndulo está dada por
E\left(\mathbf{x}\right)=T\left(\mathbf{x}\right)+P\left(\mathbf{x}\right) \\
=\dfrac{1}{2}mv^2-mgh=\dfrac{1}{2}x_2^2-\cos(x_1)
¿Energía en el origen? \(E(\mathbf{0})=-1\neq 0\)
debe hacerse un ajuste
Intuición a partir de sistemas mecánicos
podemos definir la "energía ajustada" del sistema
V\left(\mathbf{x}\right)=E\left(\mathbf{x}\right)-E\left(\mathbf{0}\right)\\
=\dfrac{1}{2}x_2^2-\cos(x_1)+1
Intuición a partir de sistemas mecánicos
podemos definir la "energía ajustada" del sistema
V\left(\mathbf{x}\right)=E\left(\mathbf{x}\right)-E\left(\mathbf{0}\right)\\
=\dfrac{1}{2}x_2^2-\cos(x_1)+1
¿Energía en el origen? \(V(\mathbf{0})=0\)
Intuición a partir de sistemas mecánicos
adicionalmente
V\left(\mathbf{x}\right)=\dfrac{1}{2}x_2^2-\cos(x_1)+1 \\
\approx \dfrac{1}{2}x_2^2-1+\dfrac{1}{2}x_1^2+1=\dfrac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2
Intuición a partir de sistemas mecánicos
adicionalmente
V\left(\mathbf{x}\right)=\dfrac{1}{2}x_2^2-\cos(x_1)+1 \\
\approx \dfrac{1}{2}x_2^2-1+\dfrac{1}{2}x_1^2+1=\dfrac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2
es decir, validamos que la energía es una cantidad escalar positiva
Intuición a partir de sistemas mecánicos
¿Qué nos falta? Validar que la energía decrece conforme el sistema se acerca al origen
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=\dfrac{d V(\mathbf{x})}{d\mathbf{x}}\dot{\mathbf{x}}=\nabla V(\mathbf{x})^\top \mathbf{f}(\mathbf{x})
Intuición a partir de sistemas mecánicos
¿Qué nos falta? Validar que la energía decrece conforme el sistema se acerca al origen
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=\dfrac{d V(\mathbf{x})}{d\mathbf{x}}\dot{\mathbf{x}}=\nabla V(\mathbf{x})^\top \mathbf{f}(\mathbf{x})
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=\begin{bmatrix} \sin(x_1) & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2 \\ -\sin(x_1)-\gamma x_2 \end{bmatrix}
Intuición a partir de sistemas mecánicos
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=x_2\sin(x_1)-x_2\sin(x_1)-\gamma x_2^2 = -\gamma x_2^2
Intuición a partir de sistemas mecánicos
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=x_2\sin(x_1)-x_2\sin(x_1)-\gamma x_2^2 = -\gamma x_2^2
\Rightarrow \dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=
-\gamma x_2^2 < 0
Intuición a partir de sistemas mecánicos
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=x_2\sin(x_1)-x_2\sin(x_1)-\gamma x_2^2 = -\gamma x_2^2
\Rightarrow \dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=
-\gamma x_2^2 < 0
sin importar el valor de \(x_2\) (exceptuando cero*),
dado que \(\gamma > 0\)
Intuición a partir de sistemas mecánicos
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=x_2\sin(x_1)-x_2\sin(x_1)-\gamma x_2^2 = -\gamma x_2^2
\Rightarrow \dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=
-\gamma x_2^2 < 0
sin importar el valor de \(x_2\) (exceptuando cero*),
dado que \(\gamma > 0\)
>> ie3041_clase5_lyapunov_pendulo.m
¿Cómo se ve esto?
Funciones de Lyapunov
la función de "energía ajustada" es un ejemplo de función de Lyapunov
Funciones de Lyapunov
la función de "energía ajustada" es un ejemplo de función de Lyapunov
estas funciones son la base del método directo de Lyapunov
Funciones de Lyapunov
la función de "energía ajustada" es un ejemplo de función de Lyapunov
estas funciones son la base del método directo de Lyapunov
* y también de muchas de las metodologías existentes de control no lineal
Funciones de Lyapunov
si tenemos \(V(\mathbf{x}):D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), una función continua con primeras derivadas (parciales) continuas en un vecindario \(D\) del origen* en \(\mathbb{R}^n\)
Funciones de Lyapunov
* el planteamiento original del método directo emplea el origen como punto de equilibrio de interés
si tenemos \(V(\mathbf{x}):D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), una función continua con primeras derivadas (parciales) continuas en un vecindario \(D\) del origen* en \(\mathbb{R}^n\)
Funciones de Lyapunov
adicionalmente, si \(V\) es positiva definida, es decir \(V(\mathbf{0})=0\) y \(V(\mathbf{0})>0\) para \(\mathbf{x}\neq \mathbf{0}\)
si tenemos \(V(\mathbf{x}):D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), una función continua con primeras derivadas (parciales) continuas en un vecindario \(D\) del origen* en \(\mathbb{R}^n\)
Funciones de Lyapunov
entonces, \(V(\mathbf{x})\) es un candidato de función de Lyapunov
Funciones de Lyapunov
entonces, \(V(\mathbf{x})\) es un candidato de función de Lyapunov
¿Por qué sólo un candidato?
Funciones de Lyapunov
entonces, \(V(\mathbf{x})\) es un candidato de función de Lyapunov
¿Por qué sólo un candidato?
para ser función de Lyapunov, \(V(\mathbf{x})\) debe probar el teorema de estabilidad de Lyapunov
Algunos candidatos populares
V(\mathbf{x})=\dfrac{1}{2}\|\mathbf{x}\|_2^2=\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)
(default)
Algunos candidatos populares
V(\mathbf{x})=\dfrac{1}{2}\|\mathbf{x}\|_2^2=\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)
V(\mathbf{x})=\mathbf{x}^\top \mathbf{P} \mathbf{x}, \quad \mathbf{P}\succ 0
(default)
(con \(\mathbf{P}\) positiva definida)
Algunos candidatos populares
V(\mathbf{x})=\dfrac{1}{2}\|\mathbf{x}\|_2^2=\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)
V(\mathbf{x})=\mathbf{x}^\top \mathbf{P} \mathbf{x}, \quad \mathbf{P}\succ 0
V(\mathbf{x})=E(\mathbf{x})-V(\mathbf{x}^*)=E(\mathbf{x})-E(\mathbf{0})
(default)
(para sistemas mecánicos)
(con \(\mathbf{P}\) positiva definida)
El teorema de estabilidad
sea \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) un punto de equilibrio de \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\), \(D \subset \mathbb{R}^n\) con \(\mathbf{x}^* \in D\), \(\mathbf{f}\) diferenciable continua en \(D\) y \(V(\mathbf{x})\) un candidato de función de Lyapunov
El teorema de estabilidad
(1a) si \(V(\mathbf{x})>0\) para todo \(\mathbf{x}\in D-\{\mathbf{0}\}\) y
(1b) \(\dot{V}(\mathbf{x})\le 0\) para todo \(\mathbf{x}\in D\) entonces \(\mathbf{x}^*\) es estable
sea \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) un punto de equilibrio de \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\), \(D \subset \mathbb{R}^n\) con \(\mathbf{x}^* \in D\), \(\mathbf{f}\) diferenciable continua en \(D\) y \(V(\mathbf{x})\) un candidato de función de Lyapunov
El teorema de estabilidad
(2) si, adicionalmente, \(\dot{V}(\mathbf{x})<0\) para todo \(\mathbf{x}\in D-\{\mathbf{0}\}\) entonces \(\mathbf{x}^*\) es (localmente) asintóticamente estable
sea \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) un punto de equilibrio de \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\), \(D \subset \mathbb{R}^n\) con \(\mathbf{x}^* \in D\), \(\mathbf{f}\) diferenciable continua en \(D\) y \(V(\mathbf{x})\) un candidato de función de Lyapunov
El teorema de estabilidad
una función que satisface las condiciones de este teorema*** recibe el nombre de función de Lyapunov
sea \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) un punto de equilibrio de \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\), \(D \subset \mathbb{R}^n\) con \(\mathbf{x}^* \in D\), \(\mathbf{f}\) diferenciable continua en \(D\) y \(V(\mathbf{x})\) un candidato de función de Lyapunov
Ejemplo: fallo en el método indirecto
\dot{x}=f(x)=-x^3
Ejemplo: fallo en el método indirecto
\dot{x}=f(x)=-x^3
candidato:
V(x)=\dfrac{1}{2}x^2
vecindario:
D: \{x \ | \ x\in\mathbb{R}\}
Ejemplo: fallo en el método indirecto
\dot{x}=f(x)=-x^3
candidato:
V(x)=\dfrac{1}{2}x^2
vecindario:
D: \{x \ | \ x\in\mathbb{R}\}
\dot{V}(x)=\nabla V(x)^\top f(x)= (x)(-x^3)=-x^4
Ejemplo: fallo en el método indirecto
\dot{x}=f(x)=-x^3
(1a) \(V(x)>0\) para \(x \in \mathbb{R} - \{0\}\)
(1b) \(\dot{V}(x)\le0\) para \(x \in \mathbb{R}\)
Ejemplo: fallo en el método indirecto
\dot{x}=f(x)=-x^3
(1a) \(V(x)>0\) para \(x \in \mathbb{R} - \{0\}\)
(1b) \(\dot{V}(x)\le0\) para \(x \in \mathbb{R}\)
\}
estable
Ejemplo: fallo en el método indirecto
\dot{x}=f(x)=-x^3
(1a) \(V(x)>0\) para \(x \in \mathbb{R} - \{0\}\)
(1b) \(\dot{V}(x)\le0\) para \(x \in \mathbb{R}\)
(2) \(\dot{V}(x)<0\) para \(x \in \mathbb{R}-\{0\}\)
\}
estable
Ejemplo: fallo en el método indirecto
\dot{x}=f(x)=-x^3
(1a) \(V(x)>0\) para \(x \in \mathbb{R} - \{0\}\)
(1b) \(\dot{V}(x)\le0\) para \(x \in \mathbb{R}\)
(2) \(\dot{V}(x)<0\) para \(x \in \mathbb{R}-\{0\}\)
\}
estable
(localmente) asintóticamente estable
Ejemplo: especificando \(D\)
\dot{x}=f(x)=x\left(x^2-1\right)
Ejemplo: especificando \(D\)
\dot{x}=f(x)=x\left(x^2-1\right)
candidato:
V(x)=\dfrac{1}{2}x^2
\dot{V}(x)=\nabla V(x)^\top f(x)= x^2\left(x^2-1\right) \stackrel{?}{<} 0
¿vecindario?
Ejemplo: especificando \(D\)
\dot{x}=f(x)=x\left(x^2-1\right)
candidato:
V(x)=\dfrac{1}{2}x^2
\dot{V}(x)=\nabla V(x)^\top f(x)= x^2\left(x^2-1\right) \stackrel{?}{<} 0
>> ie3041_clase5_especificandoD.m
¿vecindario?
Conclusiones: especificando \(D\)
\(\dot{V}\) puede ser negativa definida (\(<0\)) o negativa semi-definida (\(\le 0\)) dependiendo de la selección de \(D\)
Conclusiones: especificando \(D\)
\(\dot{V}\) puede ser negativa definida (\(<0\)) o negativa semi-definida (\(\le 0\)) dependiendo de la selección de \(D\)
si \(D:\{x \ |\ x\le 1\}\) entonces \(V(x)\le0\) y el origen \(x^*=0\) resulta ser sólo (localmente) estable
Conclusiones: especificando \(D\)
\(\dot{V}\) puede ser negativa definida (\(<0\)) o negativa semi-definida (\(\le 0\)) dependiendo de la selección de \(D\)
si \(D:\{x \ |\ x\le 1\}\) entonces \(V(x)\le0\) y el origen \(x^*=0\) resulta ser sólo (localmente) estable
sin embargo, si \(D:\{x \ |\ x < 1\}\) entonces \(V(x) <0\) y el origen ahora es (localmente) asintóticamente estable
Conclusiones: especificando \(D\)
por lo tanto \(D:\{x \ |\ x < 1\}\) asegura que \(V(x)\) sea función de Lyapunov
Conclusiones: especificando \(D\)
la región \(D\), definida mediante las condiciones impuestas por \(V(x)\), nos da un estimado de la región de atracción del punto de equilibrio
por lo tanto \(D:\{x \ |\ x < 1\}\) asegura que \(V(x)\) sea función de Lyapunov
Conclusiones: especificando \(D\)
la región \(D\), definida mediante las condiciones impuestas por \(V(x)\), nos da un estimado de la región de atracción del punto de equilibrio
es decir, la región para la cual el punto se comporta como un atractor
por lo tanto \(D:\{x \ |\ x < 1\}\) asegura que \(V(x)\) sea función de Lyapunov
Inestabilidad y convergencia global
si \(D=\mathbf{R}^n\), \(V(\mathbf{x})\) es radialmente sin límites
\(\displaystyle \lim_{\|\mathbf{x}\|\to \infty} V(\mathbf{x})=\infty \) y se cumplen las condiciones de estabilidad asintótica para \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\), entonces \(\mathbf{x}^*\) es globalmente asintóticamente estable (G.A.S.)
Inestabilidad y convergencia global
si \(D=\mathbf{R}^n\), \(V(\mathbf{x})\) es radialmente sin límites
\(\displaystyle \lim_{\|\mathbf{x}\|\to \infty} V(\mathbf{x})=\infty \) y se cumplen las condiciones de estabilidad asintótica para \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\), entonces \(\mathbf{x}^*\) es globalmente asintóticamente estable (G.A.S.)
si \(V(\mathbf{x})>0\) para todo \(\mathbf{x}\in D-\{\mathbf{0}\}\) y \(\dot{V}(\mathbf{x})>0\) para todo \(\mathbf{x}\in D-\{\mathbf{0}\}\) entonces \(\mathbf{x}^*\) es (localmente) inestable
¿Qué pasa si \(\mathbf{x}^*\ne \mathbf{0}\)? es posible definir un nuevo sistema con \(\mathbf{z}=\mathbf{x}-\mathbf{x}^*\), por lo que
\(\dot{\mathbf{z}}=\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}\left(\mathbf{z}+\mathbf{x}^*\right)\)
Equilibrios distintos de cero
¿Qué pasa si \(\mathbf{x}^*\ne \mathbf{0}\)? es posible definir un nuevo sistema con \(\mathbf{z}=\mathbf{x}-\mathbf{x}^*\), por lo que
\(\dot{\mathbf{z}}=\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}\left(\mathbf{z}+\mathbf{x}^*\right)\)
nótese que este nuevo sistema tiene un punto de equilibrio en \(\mathbf{z}^*=\mathbf{0}\) por lo que cumple con las condiciones necesarias para evaluar el teorema de estabilidad de Lyapunov
Equilibrios distintos de cero
el teorema de estabilidad de Lyapunov brinda un resultado no constructivo, ya que se basa sólo en la existencia de una función de Lyapunov más no indica cómo encontrarla o construirla
Unas últimas consideraciones
el teorema de estabilidad de Lyapunov brinda un resultado no constructivo, ya que se basa sólo en la existencia de una función de Lyapunov más no indica cómo encontrarla o construirla
por eso mismo, concluir que un punto de equilibrio no es A.S. con el candidato de función de Lyapunov seleccionado NO implica que el punto no lo sea, ya que puede existir algún candidato bajo el cual el punto sí sea A.S
Unas últimas consideraciones
esto resulta ser común, ya que la condición de negativa definida para \(\dot{V}(\mathbf{x})\) es en muchos casos demasiado estricta
Unas últimas consideraciones
esto resulta ser común, ya que la condición de negativa definida para \(\dot{V}(\mathbf{x})\) es en muchos casos demasiado estricta
Unas últimas consideraciones
para estos casos puede emplearse el principio de invarianza de LaSalle*
* (link a video externo)
¿Qué ocurre para el caso LTI?
al considerar la dinámica de un sistema LTI (homogéneo)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}
al considerar la dinámica de un sistema LTI (homogéneo)
empleando como candidato de función de Lyapunov
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}
V\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{x}^\top \mathbf{P}\mathbf{x}, \quad \mathbf{P}\succ\mathbf{0}
se obtiene
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{x}^\top \left( \mathbf{A}^\top \mathbf{P}+\mathbf{P}\mathbf{A}\right) \mathbf{x}= -\mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x}
se obtiene
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{x}^\top \left( \mathbf{A}^\top \mathbf{P}+\mathbf{P}\mathbf{A}\right) \mathbf{x}= -\mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x}
se obtiene
de donde claramente se observa que para que \(\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)<0\), la matriz \(\mathbf{Q}\) debe ser positiva definida
\dot{V}\left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{x}^\top \left( \mathbf{A}^\top \mathbf{P}+\mathbf{P}\mathbf{A}\right) \mathbf{x}= -\mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x}
si dada la matriz \(\mathbf{Q}=\mathbf{Q}^\top\succ\mathbf{0}\), puede encontrarse una matriz \(\mathbf{P}=\mathbf{P}^\top\succ\mathbf{0}\) tal que pueda resolverse la ecuación de Lyapunov de tiempo continuo (CTLE)
\mathbf{A}^\top \mathbf{P}+\mathbf{P}\mathbf{A}= -\mathbf{Q}
si dada la matriz \(\mathbf{Q}=\mathbf{Q}^\top\succ\mathbf{0}\), puede encontrarse una matriz \(\mathbf{P}=\mathbf{P}^\top\succ\mathbf{0}\) tal que pueda resolverse la ecuación de Lyapunov de tiempo continuo (CTLE)
\mathbf{A}^\top \mathbf{P}+\mathbf{P}\mathbf{A}= -\mathbf{Q}
entonces \(\mathbf{P}\) es una matriz de Lyapunov para el sistema LTI y el origen \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) del mismo es G.A.S.
si dada la matriz \(\mathbf{Q}=\mathbf{Q}^\top\succ\mathbf{0}\), puede encontrarse una matriz \(\mathbf{P}=\mathbf{P}^\top\succ\mathbf{0}\) tal que pueda resolverse la ecuación de Lyapunov de tiempo continuo (CTLE)
\mathbf{A}^\top \mathbf{P}+\mathbf{P}\mathbf{A}= -\mathbf{Q}
entonces \(\mathbf{P}\) es una matriz de Lyapunov para el sistema LTI y el origen \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) del mismo es G.A.S.
P = lyap(A, Q)si \(\mathbf{x}^*=\mathbf{0}\) es un punto de equilibrio del sistema no lineal \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\), entonces la función de Lyapunov
V(\mathbf{x})=\mathbf{x}^\top \mathbf{P} \mathbf{x}
¿Útil para sistemas no lineales?
muestra que \(\mathbf{x}^*\) es (localmente) exponencialmente A.S. sí y sólo si, existe una matriz de Lyapunov para el sistema linealizado alrededor de \(\mathbf{x}^*\)
¿Problema?
¿Útil para sistemas no lineales?
matriz de Lyapunov \(\Rightarrow\) sistema LTI G.A.S
\(\Rightarrow\) sistema no lineal localmente A.S.
¿Problema?
¿Útil para sistemas no lineales?
pero no al revés, es decir, esto no da información "nueva" sobre el sistema no lineal en comparación al método indirecto
matriz de Lyapunov \(\Rightarrow\) sistema LTI G.A.S
\(\Rightarrow\) sistema no lineal localmente A.S.
IE3041 - Lecture 5 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
