Lección 5: Identificación de sistemas | Respuesta en estado estacionario
IE3036 - Sistemas de Control 1
2do ciclo, 2024
¿Por qué?
Identificación de sistemas
>> clase5_sysiddata.mat
Respuesta en estado estacionario
s=\sigma + \jmath\omega \\
s \in \mathbb{C}
G(s)
s=\sigma + \jmath\omega \\
s \in \mathbb{C}
G(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\sigma
\omega
plano \(s\)
s=\sigma + \jmath\omega \\
s \in \mathbb{C}
G(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\sigma
\omega
plano \(s\)
dominio manipulación (frecuencia)
\(\ne\) dominio análisis (tiempo)
s=\sigma + \jmath\omega \\
s \in \mathbb{C}
G(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\sigma
\omega
plano \(s\)
Y(s)=G(s)U(s) \\
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
s=\sigma + \jmath\omega \\
s \in \mathbb{C}
G(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\sigma
\omega
plano \(s\)
Y(s)=G(s)U(s) \\
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
G(s)=\dfrac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}
ceros: valores de \(s\) que hacen \(N(s)=0\)
polos: valores de \(s\) que hacen \(D(s)=0\)
G(s)=\dfrac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}
ceros: valores de \(s\) que hacen \(N(s)=0\)
polos: valores de \(s\) que hacen \(D(s)=0\)
Los sistemas del mundo real son propios*
adicionalmente
\(\mathrm{grado}\left(D(s)\right)\) \(\equiv\) # polos del sistema
\(\equiv\) orden del sistema
\mathrm{grado}\left(D(s)\right) \ge \mathrm{grado}\left(N(s)\right)
Encuentre los polos y ceros del sistema.
R(s)
Y(s)
\dfrac{s+5}{s^2+s-2}
Encuentre los polos y ceros del sistema.
R(s)
Y(s)
\dfrac{s+5}{s^2+s-2}
G = tf([1, 5], [1, 1, -2])
polos = pole(G)
ceros = zero(G)
pzplot(G) % pole-zero plot
grid¿Qué ocurre si \(r(t)=\mathbf{1}(t)\)?
R(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{1}(t)\right\}=\dfrac{1}{s}
Y(s)=G(s)R(s)=\dfrac{s+5}{s(s-1)(s+2)}
Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s-1}+\dfrac{C}{s+2}
G(s)=\dfrac{s+5}{(s-1)(s+2)}
¿Qué ocurre si \(r(t)=\mathbf{1}(t)\)?
R(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{1}(t)\right\}=\dfrac{1}{s}
Y(s)=G(s)R(s)=\dfrac{s+5}{s(s-1)(s+2)}
Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s-1}+\dfrac{C}{s+2}
G(s)=\dfrac{s+5}{(s-1)(s+2)}
¿Qué ocurre si \(r(t)=\mathbf{1}(t)\)?
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
y(t)=A\mathbf{1}(t)+Be^{t}\mathbf{1}(t)+Ce^{-2t}\mathbf{1}(t)
entrada
sistema
y(t)=y_n(t)+y_f(t)
La respuesta de un sistema LTI tiene la forma:
respuesta natural
respuesta forzada
Los sistemas LTI presentan un número limitado de términos (modos) en la respuesta natural.
polo
\dfrac{\cdots}{\cdots(s-\sigma)\cdots}
\dfrac{\cdots}{\cdots(s+\jmath\omega)(s-\jmath\omega)\cdots}
\dfrac{\cdots}{\cdots(s-\sigma+\jmath\omega)(s-\sigma-\jmath\omega)\cdots}
e^{\sigma t}\mathbf{1}(t)
\cos(\omega t)\mathbf{1}(t) \\
\sin(\omega t)\mathbf{1}(t)
e^{\sigma t}\cos(\omega t)\mathbf{1}(t) \\
e^{\sigma t}\sin(\omega t)\mathbf{1}(t)
s=\sigma
s=\pm\jmath\omega
s=\sigma\pm\jmath\omega
tiempo
frecuencia
El sistema es:
\((i)\) (asintóticamente) estable
\((ii)\) inestable
\((iii)\) marginalmente | críticamente estable
Estabilidad
\displaystyle \lim_{t\to\infty} y_n(t)=0
\displaystyle \lim_{t\to\infty} y_n(t)=\pm\infty
\(y_n(t)=\mathrm{cte.}\) u oscila
Estabilidad en frecuencia
G(s)=K\dfrac{(s-q_1)(s-q_2)\cdots(s-q_M)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_N)}
El sistema es:
\((i)\) (asintóticamente) estable
\(\Re\{p_n\}<0\) para todos los polos.
Estabilidad en frecuencia
G(s)=K\dfrac{(s-q_1)(s-q_2)\cdots(s-q_M)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_N)}
El sistema es:
\((ii)\) inestable
\(\Re\{p_n\}>0\) para por lo menos un polo.
Estabilidad en frecuencia
G(s)=K\dfrac{(s-q_1)(s-q_2)\cdots(s-q_M)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_N)}
El sistema es:
\((iii)\) marginalmente | críticamente estable
Asintóticamente estable pero con un polo real en el origen o un par de polos imaginarios conjugados.
Ejemplo
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)
Estabilidad BIBO
G(s)
u(t)
t
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left|g(t)\right|dt < \infty
y(t)
t
Teorema del Valor Final
Si el sistema converge, ¿a qué converge?
\displaystyle y_{ss}=\lim_{t\to\infty} y(t) \equiv \lim_{s\to 0}sY(s)
Valor en estado estable o estacionario de \(y\)
Teorema del Valor Final
Si el sistema converge, ¿a qué converge?
\displaystyle y_{ss}=\lim_{t\to\infty} y(t) \equiv \lim_{s\to 0}sY(s)
Valor en estado estable o estacionario de \(y\)
El sistema debe ser asintóticamente estable.
¿Cuál es el valor en estado estable de la salida?
G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s+2}
U(s)=\dfrac{1}{s}
¿Cuál es el valor en estado estable de la salida?
G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s+2}
U(s)=\dfrac{1}{s}
G = tf(1, [1, 2])
step(G)
linearSystemAnalyzer(G)Ejercicio 1
¿Cuál es la salida en estado estable cuando \(u(t)=\mathbf{1}(t)\)?
G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{10}{s^2+s-30}
IE3036 - Lecture 5 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
