Aula 02

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

BCT - ECT - UFRN

Objetivos

Definir o referencial inercial.

Identificar o papel da cinemática.

Estudar a posição e tempo de um objeto em movimento.

Distinguir as grandezas distância e deslocamento.

Descrever o movimento em uma dimensão.

Definir as grandezas rapidez, velocidade media e velocidade instantânea.

Bibliografia:

Tipler - Cap. 2

Seção 2.1 (pag. 27 a 34)

- Refaça os Exemplos resolvidos.

- Faça os exercícios recomendados no SIGAA.

O movimento é relativo.

Referencial inercial

Fonte: Juan Carlos Casado

A Terra não é um referencial inercial! Não porque se move somente. Mas porque se move num movimento curvilíneo.

Devido a sua rotação diária e a sua órbita, a Terra não é um referencial inercial.

Fonte: Juan Carlos Casado

As estrelas distantes parecem estar em repouso ou em movimento com velocidade constante umas em relação as outras e são ditas referenciais inerciais.

Este conjunto de estrelas constituem um referencial inercial com boa aproximação.

Fonte: www.nasa.gov

Fontes: https://youtu.be/mYH_nODWkqk?si=yGDkNFZhEbZVs7Y6

O meu referencial pode não ser igual ao seu. O que importa é que eles se movam à velocidade constante.

Referencial inercial

Depois de sair da mão do professor, a aceleração da bolinha é diferente em cada referencial?

Não. Os observadores nos referenciais inerciais medirão o mesmo valor para o observável físico.

Nos referenciais inerciais são válidas as leis de Newton!

A primeira Lei de Newton define os referenciais inerciais.

v=0

v=v_0

repouso

MRU

Entende-se sobre referencial inercial que:

As estrelas distantes são referenciais inerciais. Qualquer observador ou referencial fixo nas estrelas distantes é também um observador ou referencial inercial.

Referenciais inerciais devem estar em repouso ou em movimento à velocidade constante em relação a outros referenciais inerciais.

Se a relação abaixo é satisfeita, podemos considerar que os referenciais fixos na Terra são bons referenciais inerciais para o estudo do movimento dos corpos.

\frac{2\pi\Delta t}{T}<< 1

Referencial inercial

Fonte: www.pixbay.com

Fontes: https://youtu.be/fR08t-GJ7VA?si=ENnWP2W1Vf59zv95

Mas se um referencial se move aceleradamente as medidas das grandezas físicas não serão as mesmas.

Referencial não inercial

O carro está acelerado. O que fez o objeto se mover para trás? Aliás, ele se moveu para trás?

Observadores em referenciais não inerciais não medirão o mesmo valor para o observável físico.

Nos referenciais inerciais não são válidas as leis de Newton!

É necessário levar em consideração as forças chamadas de inerciais ou fictícias.

É necessário levar em consideração o princípio de equivalência.

A cinemática não considera as causas e efeitos do movimento (força e aceleração); seu objetivo é simplesmente fornecer uma descrição quantitativa do movimento (direção e sentido, por exemplo).

Como descrição quantitativa do movimento, entende-se:

concreto $\rightarrow$ abstrato

Cinemática

Diagramas do movimento

Tabelas

Gráficos

Funções

x(t)=x_0+vt

Fonte: Eric Mazur

No filme, o Shinkansen está em movimento?

Para responder a essa questão podemos medir a rapidez do trem bala em relação ao referencial da plataforma da estação.

Basta acompanhar a posição do trem em tempos diferentes em relação ao referencial.

Se a posição variar no tempo, o objeto está em movimento.
Se a posição não variar no tempo, diz-se que o objeto está em repouso.

Cinemática

Quão rápido o trem bala está se movendo?

Fonte: https://youtu.be/SIzOFZug8C8

eixo de referência

Origem

Quadro	x (m)	t(s)

O movimento é descrito ao informar as grandezas físicas de posição e tempo.

0,4

0,5

0,8

1,0

1,2

1,5

1,6

2,0

A partir da origem, as distâncias aumentam no sentido (positivo) do eixo de referência.

Posição e tempo

Fonte: https://www.subpng.com/png-ldoroi/

Diagrama do movimento

Tabela

0,4 m

0,5 s

1,2 m

1,5 s

1,6 m

2,0 s

1,0 s

0,8 m

O gráfico da posição e tempo é uma representação do movimento do objeto.

O eixo vertical representa a posição e o eixo horizontal representa o tempo.

Gráficos

Gráfico

Tabela

A tabela e o gráfico trazem informações que se complementam.

Quadro	x(m)	t(s)
1
2
3
4

0,4

0,5

0,8

1,0

1,2

1,5

1,6

2,0

O vetor posição final $\vec r_f$ pode ser determinado a partir do vetor posição inicial $\vec r_i$ e do vetor do deslocamento $\Delta \vec r$:

\vec r_f=\vec r_i+\Delta\vec r

Deslocamento

\vec r_i

\Delta \vec r

\vec r_f

Fonte: https://www.subpng.com/png-ldoroi/

\vec i \cdot \vec i = 1

Em uma dimensão podemos escrever:

\vec r \equiv x\hat i

\Rightarrow

x_f\hat i=x_i \hat i+\Delta x\hat i

onde $\hat i$ é o vetor base unitário:

Podemos representar o movimento de um objeto que se move de uma posição para outra por um vetor que aponta da posição inicial para a posição final.

\sqrt{\Delta \vec r \cdot \Delta \vec r} = \Delta x =x_f-x_i

x_f=x_i+\Delta x

\Rightarrow

O componente do deslocamento é um escalar.

O componente x do deslocamento de um objeto é a variação em sua coordenada x.

Deslocamento e distância são grandezas com significados diferentes.

A distância é o módulo do deslocamento.

Distância percorrida

= |posição final - posição inicial|

d = |x_f-x_i|

\Rightarrow

d = +1,2\,\text{m}

\Delta x = +1,2\,\text{m}

\Delta x = x_f-x_i

= posição final - posição inicial

Componente

do deslocamento

\Rightarrow

Deslocamento e distância

$x_i$ = 0,4 m

\Delta x

$x_f$ = 1,6 m

Para frente

Fonte: https://www.subpng.com/png-ldoroi/

x_f=x_i+\Delta x

O componente x do deslocamento de um objeto é a variação em sua coordenada x.

A distância é o módulo do deslocamento.

Deslocamento e distância são grandezas com significados diferentes.

\Delta x = -0,6\,\text{m}

\Delta x = x_f-x_i

= posição final - posição inicial

Componente

do deslocamento

\Rightarrow

Distância percorrida

= |posição final - posição inicial|

d = |x_f-x_i|

\Rightarrow

d = +0,6\,\text{m}

$x_f$ = 1,0 m

\Delta x

$x_i$ = 1,6 m

Deslocamento e distância

Para trás: Moonwalk

Fonte: https://www.subpng.com/png-ldoroi/

x_f=x_i+\Delta x

O componente x do deslocamento de um objeto é a variação em sua coordenada x.

A distância é a soma dos módulos dos deslocamentos.

Deslocamento e distância são grandezas com significados diferentes.

\Delta x = +0,6\,\text{m}

\Delta x_{res} = \Delta x_{frente}+\Delta x_{trás}

= posição final - posição inicial

Componente

do deslocamento

\Rightarrow

Distância percorrida

= |posição final - posição inicial|

d = |\Delta x_ {frente}|+|\Delta x_{trás}|

\Rightarrow

d = +1,8\,\text{m}

Deslocamento e distância

=+1,2\text{ m}

=-0,6\text{ m}

=+1,2\text{ m}

=+0,6\text{ m}

0,4\text{ m}

1,6\text{ m}

1,0\text{ m}

Fonte: https://www.subpng.com/png-ldoroi/

$x_2$ = 1,6 m

$x_1$ = 0,4 m

$x_3$ = 1,0 m

Resultante

Moon-Walk

\Delta x

\Delta x_f

\Delta x_t

No movimento de um estudante em frente à ECT/UFRN representado pelos pontos azuis sobre o Google Maps, avalie:

A distância percorrida, em km.
O deslocamento percorrido, em km.

Deslocamento e distância

Fonte: https://youtu.be/M1Zu-pQD7sk

Exemplo 1

Suponha que você ande em linha reta de um ponto P a um ponto Q, a 2 m de distância de P e depois caminhe de volta pela mesma linha até P.

(a) Qual é o componente x do seu deslocamento para a ida e volta?

(b) Que distância você viajou durante a viagem de ida e volta?

Lição 1: A distância percorrida é o trajeto realizado por um objeto em movimento ao longo do caminho de seu movimento.

Lição 2: A distância percorrida é sempre positiva.

\Delta x_t= \Delta x_1+\Delta x_2

\Rightarrow

\Delta x_t= 2,0\,\,\text{m} - 2,0\,\text{m} =0

d=|\Delta x_1|+|\Delta x_2|

\Rightarrow

d= |2,0\,\text{m}| + |-2,0\,\text{m}| =4,0\,\text{m}

Exemplo 2

(a) Um objeto se move de uma posição inicial em x = +3,1 m para uma posição final em x = +1,4 m. Qual é o componente do deslocamento do objeto? (b) O componente do deslocamento de um objeto é +2,3 m. Se a posição inicial do objeto é x = +1,6 m, qual é a coordenada de sua posição final? (c) Após sofrer um deslocamento de -1,3 m, um objeto está em x = -0,4 m. Qual é a coordenada da posição inicial do objeto?

Lição 1: Desenhe um diagrama do movimento.

Lição 2: A posição final é determinada quando se conhece a posição inicial e o componente do deslocamento.

(a) $\Delta x = x_f - x_i = +1,4 - (+3,1) = -1,7 $ m

(b) $\Delta x = x_f -x_i \Rightarrow x_f = \Delta x + x_i = +2,3 + 1,6 = +3,9$ m.

+1,4 m

+3,1 m

eixo de referência

$\Delta x$

+1,6 m

eixo de referência

$\Delta x = +2,3$ m

-0,4 m

eixo de referência

$\Delta x = -1,3$ m

Exemplo 3

Um objeto move-se do ponto P em x = + 2,3 m para o ponto Q em x = + 4,1 m e, em seguida, para o ponto R em x = + 1,5 m. (a) Qual é o componente do deslocamento do objeto após viajar de P para R? (b) Qual é a distância entre as posições inicial e final do objeto? (c) Qual a distância percorrida pelo objeto?

Lição 1: Desenhe um diagrama do movimento.

Lição 2: Lembre-se que componente do deslocamento e distância são conceitos distintos.

(a) $\Delta x_{r} = \Delta x_1+\Delta x_2 = (4,1 - 2,3) + (1,5 - 4,1) = -0,8$ m

(b) d = |$\Delta x_{r}| = 0,8$ m

+2,3 m

+4,1 m

eixo de referência

$\Delta x_1$

+1,5 m

$\Delta x_1$

$\Delta x_2$

Rapidez média (ou velocidade escalar média)

Uma grandeza escalar que mede a rapidez ou a lentidão de um objeto é sua rapidez média, definida como a razão:

\text{rapidez média}=\frac{\text{distância percorrida}}{\text{intervalo de tempo decorrido}}

Fonte: Globo Esporte

Cesar Cielo, marcou o tempo de 20 segundos e 91 centésimos na prova dos 50 m livres (Recorde Mundial).

Fonte: https://youtu.be/Kszu_5wA6Co

v_m=\frac{50\text{ m}}{20,91\text{ s}}=2,4\text{ m/s}

A rapidez média foi de:

A vitória pertence ao corredor com maior rapidez média.

v_m=\frac{d}{\Delta t}

Observe que a unidade SI é o metro por segundo (m/s) e a resposta é dada com 2 algarismos significativos.

Calcule a rapidez média.

Rapidez e velocidade médias

O campeão mundial, Cesar Cielo, marcou o tempo de 46 segundos e 91 centésimos na prova dos 100 m livre (Roma 2009).

Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=GykqA5fuGto

A velocidade média é nula porque nos 100 m livre o atleta chega ao mesmo ponto de partida. Logo, seu deslocamento (vetor) é nulo: $\Delta x = 0$, pois $x_f=x_i$:

É uma grandeza vetorial que fornece a direção, sentido e magnitude do deslocamento por intervalo de tempo:

\vec v_m=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}

v_m=\frac{d}{\Delta t}=2,13\text{ m/s}

v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}

v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t} = 0

A rapidez média não é nula porque mede o quão rápido ele foi na prova, a distância é $d= 100$ m.

Rapidez média

Velocidade média

É calculada pela razão:

v=\frac{d}{\Delta t}

É calculada pela razão:

\vec v=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}

É um número (escalar).

É um vetor (vetorial).

É não negativo.

Pode ser negativo, nulo ou positivo.

A magnitude é numericamente igual à inclinação da reta.

É igual à velocidade média quando o objeto tem a mesma direção e sentido do movimento.

Velocidade média

v=\frac{[L]}{[T]}\equiv \frac{\text{m}}{\text{s}}

No sistema internacional

No movimento de um estudante em frente à ECT/UFRN representado pelos pontos azuis sobre o Google Maps, avalie:

A rapidez média, em m/s.
A velocidade média, em m/s.

Rapidez média e velocidade média

Fonte: https://youtu.be/M1Zu-pQD7sk

A rapidez é sempre positiva. Já a velocidade pode ser negativa, nula ou positiva.

Rapidez média e velocidade média

Para a velocidade é importante avaliar o referencial.

v_m =

\frac{+1609\text{ m}}{4,740\text{ s}}

+339,5\text{ m/s}

v_m =

\frac{-1609\text{ m}}{4,695\text{ s}}

-342,7\text{ m/s}

v_m =

O sinal de menos indica que a velocidade média, assim como o deslocamento, apontam para a esquerda, isto é, contrários ao referencial.

Como obter um modelo (função) para o movimento a partir do gráfico?

Gráfico

Análise de dados

O deslocamento é sempre o mesmo entre os mesmos intervalos de tempo:

Quadro	t(s)	x(m)
1	0,5	0,4
2	1,0	0,8
3	1,5	1,2
4	2,0	1,6

\Delta x = 0,4\text{ m}

\Delta t = 0,5\text{ s}

Função posição (Equação horária)

x_1

x_2

x_4

x_3

O deslocamento total vale $\Delta x = 0,8 \text{ m}$ em um intervalo de tempo total $\Delta t = 1,5 \text{ s}$.

\Delta x

\Delta x_{total}

\Delta t

\Delta t_{total}

A inclinação da reta é numericamente igual à velocidade média.

\Delta x =v_m\Delta t

v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}

ou reescrevendo:

Função posição (Equação horária)

inclinação $\equiv$

Para velocidade média constante, a reta tem inclinação constante no gráfico posição x tempo.

x_f=x_i +v_m\Delta t

Quando a velocidade é constante a função posição é a equação da reta:

Gráfico

Análise de dados

\Delta x_{total}

\Delta t_{total}

v_m

Velocidade instantânea

A partir do gráfico podemos notar que se $\Delta t \rightarrow dt $, então o $\Delta x \rightarrow dx$.

v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\Delta x_1}{\Delta t_1}

\Delta t_1

\Delta x_1

A velocidade média é numericamente igual à secante (reta passando por dois pontos).

À medida que $\Delta t \rightarrow 0$, a reta secante tende à reta tangente.

Quando a velocidade média é constante, os subintervalos do deslocamento divididos pelos intervalos de tempo têm o mesmo valor.

\text{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}

\Delta x

\Delta t

\Delta x

\Delta t

Velocidade instantânea

Quando a velocidade média é constante, os subintervalos do deslocamento divididos pelos intervalos de tempo têm o mesmo valor.

v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}

v_m=v_1=\frac{\Delta x_1}{\Delta t_1}

v_m=v_2=\frac{\Delta x_2}{\Delta t_2}

v_m=v_n=\frac{\Delta x_n}{\Delta t_n}

Nos subintervalos, os valores de $\Delta x_n$ e $\Delta t_n$ são reduzidos. Podemos definir a velocidade instantânea:

\text{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}

Rigorosamente, é a derivada da função posição no tempo:

\text{v} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \left[ \frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t} \right]

= \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \left[ \frac{\Delta x}{\Delta t} \right]_{t=t_0}

= \left[ \frac{d x}{d t} \right]_{t=t_0}

derivada da função posição no tempo

Se a velocidade é conhecida, é possível obter a função posição empregando o cálculo integral. Determinamos a primitiva (antiderivada):

isto é um deslocamento infinitesimal. Integrando ambos os lados:

Para velocidades constantes:

x_f = x_i + \text{v}(t_f-t_i)

\Rightarrow dx=\text{v}dt

\text{v}=\frac{dx}{dt}

\int_{x_i}^{x_f}dx=\int_{t_i}^{t_f}\text{v}dt

Quando a velocidade é constante a velocidade média é igual à velocidade instantânea.

O movimento é denominado de Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).

x(t) = 0 + \int_{0}^{t_f}0,10dt'

x_f=0,10t_f

Velocidade instantânea

Exemplo 4

Suponha a função: $x(t) = 5,0 + 4,0t$. A velocidade média:

v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}

A velocidade instantânea via o cálculo do limite.

= \frac{(5,0+4,0t)-(5,0+4,0t_0)}{t-t_0}

= \frac{4,0(t-t_0)}{t-t_0}

= 4,0\text{ m/s}

\text{v} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \left[ \frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t} \right]

= \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{(5,0+4,0(t_0+\Delta t))-(5,0+4,0t_0)}{(t_0+\Delta t)-t_0}

=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{4,0\Delta t}{\Delta t}

=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} 4,0

= 4,0\text{ m/s}

A velocidade instantânea via o cálculo da derivada.

\text{v}= \left[ \frac{d x}{d t} \right]_{t=t_0}

= \left[ \frac{d (5,0+4,0 t)}{d t} \right]_{t=t_0}

= 4,0\text{ m/s}

Para movimentos com velocidade constante a velocidade média é igual à velocidade instantânea.

Planilha: LINK

As provas de natação são movimentos em uma dimensão. A atleta vai em um sentido nadando 50 m e depois retorna completando a mesma distância. Ao final terá nadado 100 m.

Mundo real

Fonte: Olympics. LINK.

Qual o gráfico mais adequado para representar a prova?

Movimento retilíneo uniforme

(a)

(b)

(c)

(d)

As provas de natação são movimentos em uma dimensão.

Modelagem

Mundo real

Fonte: Olympics. LINK.

Medidas

Fonte: analysisswim.com. LINK.

Kaylee MCKeown (AUS) completou a prova de 100 m com o tempo de 57,33 s.

Ela foi a mais rápida e venceu.

Ela foi mais rápida em todo percurso? O que signifca ser rápido?

Fonte: Google Planilhas. LINK.

Movimento retilíneo uniforme

(d)

Calcule a velocidade média na ida e na volta.

Estudo de caso: 100 m nado costas - Paris 2024.

Entre t = 28,08 s e 57,33 s. $\Delta x$ = -50,0 m.

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=

Entre t = 0 s e 28,08 s. $\Delta x$ = +50,0 m.

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=

Na ida a velocidade média foi $v_m=+1,78$ m/s e na volta $v_m = -1,71$ m/s.

Na ida a rapidez média foi $v_m=1,78$ m/s e na volta $v_m = 1,71$ m/s. A atleta foi mais rápida na ida!

A velocidade média no trajeto ida-volta é $v_m=0$. A rapidez média ida-volta é $v_m = 1,74$ m/s.

+1,78\frac{\text{m}}{\text{s}}

-1,71\frac{\text{m}}{\text{s}}

Movimento retilíneo uniforme

Estudo de caso: 100 m nado costas - Paris 2024.

A função movimento na ida:

x(t) = 1,74 t + 2,39

A função movimento na volta:

x(t) = -1,64 t + 50

As funções de movimento ajustadas no Google Planilhas e utilizando dados reais.

Para um modelo mais simples (sem ajuste), elas seriam:

x(t) = 1,78 t

x(t) = -1,71 t + 50

Isso ocorre porque no mundo real, a velocidade constante não é fácil de ser mantida. Imagine nadando!

Movimento retilíneo uniforme

Entre t = 12,20 s s e 18,50 s. $\Delta x$ = +10,0 m.

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=+1,59\frac{\text{m}}{\text{s}}

Entre t = 18,50 s e 24,70 s. $\Delta x$ = +10,0 m.

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=+1,61\frac{\text{m}}{\text{s}}

Entre t = 0 s e 6,20 s. $\Delta x$ = +15,0 m.

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=+2,42\frac{\text{m}}{\text{s}}

Em cada intervalo considerado a velocidade média não é constante. Um valor aceito é a média das velocidades médias mais ou menos sua incerteza.

Estudo de caso: 100 m nado costas - Paris 2024.

Calcule a velocidade média para cada intervalo de tempo na ida.

Entre t = 24,70 s e 28,08 s. $\Delta x$ = +5,0 m.

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=+1,48\frac{\text{m}}{\text{s}}

Entre t = 6,20 s e 12,20 s. $\Delta x$ = +10,0 m.

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=+1,67\frac{\text{m}}{\text{s}}

v=(1,75\pm 0,38) \text{m/s}

na ida. E na volta?

Movimento retilíneo uniforme

Um ciclista mantém uma velocidade constante na ida de uma viagem, velocidade zero enquanto parado e outra velocidade constante no caminho de volta. A Figura mostra o gráfico posição-tempo correspondente. Usando os intervalos de tempo e posição indicados no desenho, obtenha as velocidades para cada segmento da viagem.

Fonte: Cutnell

Exemplo 5

ida

Repare que o movimento se dá em uma dimensão (linha reta)

v_{ida} =+2\text{ m/s}

parado

v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}

v_{parado} =0\text{ m/s}

volta

v_{ida} =-1\text{ m/s}

Como a velocidade é constante (inclinação constante) em cada trecho, basta escolher adequadamente os deslocamentos e intervalos de tempo.

Gráfico da velocidade em função do tempo

A velocidade média é aproximadamente constante na ida e na volta na prova dos 100 m.

Entre t = 0 s e t = 28,08 s, o movimento é para frente ($\Delta x > 0$) e a velocidade é constante e positiva: $v=+1,78$ m/s.

Em t = 28,08 a velocidade é instantaneamente nula $v=0$ m/s, pois temos um ponto de retorno.

Entre t = 28,08 s e t = 57,33 s o movimento é para trás ($\Delta x < 0$) e a velocidade é constante e negativa: $v=-1,71$ m/s.

eixo 0

v>0

v<0

Movimento para frente

(p/ longe da origem)

v(t) = +1,78 \text{ m/s}

v(t) = -1,71 \text{ m/s}

Movimento para trás

(p/ perto da origem)

Gráfico da velocidade em função do tempo

Em um gráfico da velocidade em função do tempo, o deslocamento é numericamente igual à área sob a curva da velocidade.

\Delta x

\text{v}

\Delta t

\Delta x

\text{v}

\Delta x \equiv \text{Área}

\text{Área}\equiv |\text{v}|\Delta t

\Delta x =|\text{v}|\Delta t

CUIDADO:
dimensão de área: m$^2$.
dimensão de deslocamento: m

O deslocamento para frente é $\Delta x = |\text{v}| \Delta t$ = (1,78 m/s) x (28,08 s) = 49,98 m ~ 50 m.

O deslocamento para trás é$\Delta x = |\text{v}| \Delta t$ = |-1,71 m/s| x (29,25 s) = 50,01 m ~ 50 m.

Você faz uma integração a todo momento quando responde a pergunta abaixo.

Suponha que você esteja viajando a 100 km/h, em sua Lamborghini, durante 20 min. Qual o seu deslocamento?

\Delta x = \int_i^f vdt

\Delta x =v\Delta t

\Delta x =33,3 \,\text{km}

v(\text{km/h})

t(\text{h})

100

Fonte: https://www.gta-sa.com.br

Mundo Real

Você usa uma função linear toda vez que responde a questão abaixo.

Se você passou pelo marco 10 km no tempo t = 1,33 h, com uma rapidez de 100 km/h.

Onde você estará no tempo t = 2,0 h mantendo a mesma velocidade constante (olhe o velocímetro)?

\Delta x = v\Delta t

x(\text{km})

t(\text{h})

Fonte: https://www.gta-sa.com.br

x_f = x_i +v(t_f - t_i)

x_f = 10 + 100(t_f -1,33)

x_f = 10 +100(2 - 1,33)

x_f = 77 \,\text{km}

\Delta x=67\text{ km}

\Rightarrow \Delta x=67\text{ km}

Exemplo 6

A figura mostra o gráfico de posição versus tempo para a parte do movimento de um objeto em movimento a velocidade constante. (a) Qual é o componente da velocidade do objeto? (b) Escreva uma expressão para x(t) , a coordenada da posição do objeto em um momento arbitrário . (c) Qual é a coordenada da posição do objeto em t = 25 s?

$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4,0-2,5}{4,0-1,5} = +0,60 \frac{\text{m}}{\text{s}}$

(a) Pegue números de fácil leitura sobre a reta.

(b) $x_f = x_i + v(t_f - t_i$).

$x_f = +1,6 + 0,60(t_f-0)$

$x_f = +1,6+0,60*25 = +17$ m

A função permite prever o futuro! Daí sua importância!

Fonte: Eric Masur

Exemplo 7 (A2.P1-10)

Um corredor de 18 anos consegue completar um percurso de 10,0 km com uma velocidade escalar média de 4,39 m/s. Um corredor de 50 anos consegue cobrir a mesma distância com uma velocidade média de 4,27 m/s. Quanto tempo depois (em segundos) o corredor mais jovem deveria começar de modo a completar a corrida no mesmo instante que o corredor mais velho? C2.8

Exemplo 8 (A2.P1-11)

Uma ciclista faz um passeio composto de três partes, cada uma na mesma direção e sentido (de sul para norte) ao longo de uma estrada reta. Na primeira parte, ela pedala durante 22 minutos a uma velocidade média de 7,2 m/s. Durante a segunda parte, ela pedala durante 36 minutos a uma velocidade média de 5,1 m/s. Finalmente, durante a terceira parte, ela pedala durante 8,0 minutos a uma velocidade média de 13 m/s.

(a) Que distância a ciclista percorreu durante todo o passeio?

(b) Qual o seu vetor velocidade média durante o passeio?

Exemplo 9 (A2.P1-13)

Um turista que está sendo perseguido por um urso furioso está correndo em linha reta em direção ao seu carro a uma velocidade de 4,0 m/s. O carro está a uma distância d. O urso está a 26 m do turista e correndo a 6,0 m/s. O turista alcança o carro com segurança. Qual o valor máximo possível para d? C2.9

Exemplo 10

A função posição de um objeto que se move à velocidade constante é dada por:

x(t)=1,5+4,0(t-0,2)

onde $x$ está em metros e $t$ está em segundos.

(a) Qual a posição inicial?

(b) Qual o instante inicial?

(d) Em que posições ele estará no instante $t=0,2 s$ e $t=2,0 s$?

(e) Qual o deslocamento entre esses dois instantes?

(f) Como são os gráficos $x \times t$ e $v \times t$?

Essa atividade não está resolvida. Caso você a entregue na próxima aula, você obtem 0,1 pontos extras na média da unidade.

O que é o movimento? Por que estudamos esse conceito?

Unificando conceitos

Os conteúdos

Aplicações

Relações: - Deslocamento, Distância - Velocidade, Rapidez - Vetores, escalares.

Entendendo os padrões e escalas do movimento

Sistemas e modelos - Sistema de coordenada global - Movimento é relativo ao nosso sistema de coordenadas - Sistema de posicionamento global.

As leis físicas são observadas ao nosso redor.

Medidas de latitude e longitude

Medidas de velocidade e rapidez

Algarismos significativos

Taxas de variação

Escalares e vetores

Gráficos e análise de dados

Medindo deslocamento e distância

Compreendendo o sistemas de coordenadas global

Determinação das melhores linhas de ajuste e determinação de inclinações a partir de gráficos

Sistemas testes

Cálculos com planilhas

Sistemas testes

Caminhando, correndo, dirigindo

Sistema solar

Deriva continental

Comunicações

Navegação

Telemetria da vida selvagem

Acompanhamento do movimento das pessoas

Fonte: Lawrence Berkeley Laboratory

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

Quão rápido a Terra está se movendo ao redor do Sol?

Fonte: https://www.geokratos.ggf.br/2024/02/o-sistema-solar.html

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

Quão rápido o caracol está se movendo?

Fonte: https://popfantasma.com.br/campeonato-mundial-de-corrida-de-caracois/

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

Continentes “derivam” a velocidades muito lentas (2,5 cm/ano), mas podem mover-se longas distâncias ao longo de milhões de anos.

Fonte: https://portal.gplates.org/cesium/?view=rift_v

Fonte: https://mundoeducacao.uol.com.br

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

Os sistemas de tempestades geralmente se movem lentamente, mas a velocidade do vento dentro de um furacão ou tornado pode resultar em devastação significativa.

Fonte: https://www.climatempo.com.br

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

A luz pode viajar distâncias extremamente longas em altas velocidades.

Fonte: https://exame.com

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

Ondas eletromagnéticas viajam próximas à velocidade da luz em circuitos elétricos.

Fonte: https://olhardigital.com.br

Blackwell, custará entre US$ 30 mil e 40 mil por unidade

A velocidade de deriva dos elétrons em um circuito é aproximadamente a velocidade de um caracol.

Fonte: https://es.linkedin.com

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

A velocidade média dos átomos de hélio a 25° é 1255 m/s

Fonte: https://vantagepointmag.co.uk

Blackwell, custará entre US$ 30 mil e 40 mil por unidade

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

Bactérias Salmonella se movem lentamente em curtas distâncias. Proteínas, também!

Fonte: https://evrimagaci.org/salmonelloz-8174

Blackwell, custará entre US$ 30 mil e 40 mil por unidade

Fonte: https://www.youtube.com/embed/gy1Fxjm9Luk

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

A vida depende do movimento em uma ampla gama de escalas

Fonte: https://www.biomedicinapadrao.com.br

Blackwell, custará entre US$ 30 mil e 40 mil por unidade

Fonte: https://coenfeba.com/

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

O controle de movimento é um grande negócio.

Fonte: https://www.estadao.com.br

Movimento

Tudo no universo está em constante movimento.

O movimento é um que permite as pessoas se mudarem de um lugar para outro.

Fonte: https://commons.wikimedia.org

Fonte: Pedro Vitorino/Cedida

Fonte: https://passeiospipa.com.br

Movimento

Hoje podemos usar o Sistema de Posicionamento Global (GPS) para medir nossa localização e nos guiar para novos locais.

Fonte: Google Maps

Exploraremos o movimento examinando o deslocamento e a velocidade de pessoas/objetos enquanto viajam curtas distâncias pela superfície da Terra.

Movimento

O sistema de Geoposicionamento completo inclui 24 satélites que ficam orbitando a Terra.

Fonte: https://www.esquerdadiario.com.br/

Quando você liga o seu receptor GPS e pede para ele te dizer onde você está, na verdade, você está entrando em contato com 4 desses satélites e pedindo informação.

Ao cruzar esses círculos, o ponto onde os três se cruzam é exatamente onde você está.

Movimento

Antes de passarmos a usar o GPS, vamos tirar um momento para apreciar um pouco da física envolvida na criação deste sistema.

Fonte: INPE

Sistema de Coordenadas Geográficas

Linhas imaginárias de latitude e longitude definem um sistema de coordenadas por meio do qual a posição ou localização de qualquer lugar na superfície da Terra pode ser determinada.

Fonte: GOOGLE

Sistema de Coordenadas Geográficas

A latitude é medida em graus (°), minutos (′) e segundos (″), variando de 0° no Equador a 90° nos polos (Norte e Sul).

Fonte: Shutterstock.com

A longitude também é medida em graus, minutos e segundos, variando de 0° no Meridiano de Greenwich a 180° a leste ou oeste.

ECT - Anel Viário Contorno do Campus s/n - Capim Macio, Natal - RN, 59078-970

Latitude

Longitude

Fonte: Google Maps

Sistema de Coordenadas Geográficas

Identifique a latitude e longitude de algums pontos.

Estime a distância utilizando a escala da figura.

ABRA: https://www.google.com.br/earth/

Norte

Sul

Leste

Oeste

Latitude e Longitude

Latitude e longitude nada mais são do que nomes que as coordenadas geográficas únicas obtidas para cada ponto da superfície terrestre.

A latitude é o ângulo formado entre o ponto de interesse e o equador terrestre. A mesma é medida ao longo do meridiano que passa pelo lugar de interesse.

A longitude geográfica é o ângulo formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano que passa pelo ponto considerado.

Latitude e Longitude

5^o 45' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}

22^o 59' 0"\text{S}\quad 43^o 11' 05"\text{W}

Latitude e Longitude

Início: Forte Reis Magos

Fim: Biblioteca Central UFRN

5^o 50' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}

5^o 45' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}

Distância:

y=9.243,18\text{ m}

A latitude mudou

Latitude e Longitude

Início: Forte Reis Magos

Fim: Rio Santana

5^o 45' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}

5^o 45' 22"\text{S}\quad 36^o 48' 10"\text{W}

Distância:

x=178.140,91\text{ m}

A longitude mudou

Latitude e Longitude

Início: Forte Reis Magos

Fim: Rio Santana

5^o 45' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}

5^o 45' 22"\text{S}\quad 36^o 48' 10"\text{W}

Distância:

x=178.140,91\text{ m}

A longitude mudou

Sistema de Coordenadas Geográficas

O que mudou mais no trajeto AB, em amarelo, abaixo do equador? Longitude ou Latitude?

ABRA: https://www.google.com.br/earth/

O movimento foi de:

- Leste para Oeste ?

- Oeste para Leste ?

Gráficos de Latitude e Longitude em função do tempo de A para B.

Sistema de Coordenadas Geográficas

O que mudou mais no trajeto AB, em vermelho? Longitude ou Latitude?

ABRA: https://www.google.com.br/earth/

O movimento foi de:

- Norte para Sul ?

- Sul para Norte ?

Gráficos de Latitude e Longitude em função do tempo de A para B.

Sistema de Coordenadas Geográficas

Como seriam os gráficos de Latitude e Longitude entre os dois pontos abaixo (BR101)?

Ponto A:

Lat: -5,812595

Lon: -35,205303

Ponto B:

Lat: -5,801684

Lon: -35,235262

Fonte: https://www.google.com.br/

Qual o significado das linhas amarela e azul?

Estamos indo mais ao Norte ou mais ao Sul?

Estamos indo mais ao Oeste ou mais ao Leste?

Sistema de Coordenadas Geográficas

Considerando os gráficos de Longitude e Latitude. Qual seria o mapa correspondente, de ida e volta entre A e B, mas com uma paradinha em B antes

de retornar até A?

Fonte: Google Maps

Mapa 1

Mapa 2

Fonte: Google Maps

Como seria o gráfico do outro mapa?

Sistema de Coordenadas Euclidianas

Parque da cidade

Como calcular a distância em sistema de coordenadas esféricas para pequenos deslocamentos a partir das coordenadas geográficas de longitude e latitude?

Calculamos a distância em um sistema de coordenadas esféricas para pequenos deslocamentos.

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

Sistema de Coordenadas Euclidianas

Vivemos em um planeta esférico, então precisamos usar esse sistema.

Em um sistema de coordenadas esféricas, um ponto é identificado por r, θ e φ.

A distância entre $x_1$ e $x_2$ ao longo de uma linha reta é o comprimento da corda,

$c = 2R \sin(\theta /2)$

Sistema de Coordenadas Euclidianas

Vivemos em um planeta esférico, então precisamos usar esse sistema.

A distância entre $x_1$ e $x_2$ ao longo de uma linha reta é o comprimento da corda,

$c = 2R \sin(\theta /2)$

Distância entre $x_1$ e $x_2$ ao longo do arco é o comprimento do arco,

$s = R\theta$

Para $R$ longo e pequeno $\theta$, $\sin(\theta) \approx \theta$.

Então, a corda $ c = 2R\sin(\theta/2) \approx R\theta = s$.

Sistema de Coordenadas Euclidianas

Vivemos em um planeta esférico, então precisamos usar esse sistema.

Conforme você viaja em uma linha de longitude, o raio do seu círculo é o raio da Terra, o ângulo que você cobre é $Lat_2 – Lat_1$.

A distância percorrida ao longo da longitude

$x \approx R(Lat_2-Lat_1)$.

Conforme você viaja em uma linha de latitude, o raio do seu círculo depende da sua longitude como $R \cos(Lat)$. (Raio de latitude grande no equador e pequeno perto dos polos.)

O ângulo que você cobre é $Long_2 – Long_1$. Na aproximação de ângulo pequeno:

Distância percorrida ao longo da latitude

$(y) ≈ R \cos(Lat) (Long_2 – Long_1)$

Sistema de Coordenadas Euclidianas

Vivemos em um planeta esférico, então precisamos usar esse sistema.

Ao alterar a longitude e a latitude, combine os dois lados iguais do triângulo para obter a distância total percorrida:

Para localizações com $Lat_1, Long_1$ e $Lat_2, Long_2$, em graus:

d=\sqrt{x^2+y^2}

x=R\left( \frac{\pi}{180} \right)(Lat_2-Lat_1)

y=R\left( \frac{\pi}{180} \right)(Long_2-Long_1)\cos(Lat_1)

onde R = 6,356 km é o raio da terra e $\pi/180$ converte graus para radianos.