Objetivos

Explicar o Movimento Harmônico Simples (MHS).

Ao final dessa aula você deve se capaz de:

Reconhecer o MHS em diversos fenômenos naturais e experimentos.

Analisar o movimento do sistema massa-mola:

Equação do movimento.
Função do movimento.
Gráficos do movimento.

Bibliografia

Tipler & Mosca

Capítulo: 14

Seção: 14.1

Fonte: Tipler

Associar o MHS ao MCU.

Veja exercícios indicados no SIGAA.

Movimento harmônico...

Fonte: https://www.magnusmundi.com

Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.

O balanço no fim do mundo...

Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.

O que nos permite ouvir?

Curva de Fletcher-Munson: LINK.

Fonte: G1

Nossos ouvidos são capazes de detectar oscilações na faixa de frequência de 20 Hz a 20 kHz.

Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.

O que nos permite enxergar?

PHET e UFRGS

Hue-Teste: LINK

Fonte: https://coralplaza.com.br/

Nos nossos olhos há moléculas que nos permitem detectar ondas eletromagnéticas em uma faixa de comprimento de onda muito limitada (~ 400 – 700 nm).

Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.

Como nos comunicamos, compartilhamos informações e percebemos a nós e o mundo?

Ondas eletromagnéticas: Imagem, Comunicações, Transporte de energia.

Ondas mecânicas: Som e imagem

Ligações moleculares

Luz visível

GPS

WiFi - Bluetooth

Transporte de enegia

Música - Voz

Imagem por ultrassom

Propriedades dos materiais

A energia radiativa é transmitida do sol para a Terra como ondas eletromagnéticas. O sol fornece a maior parte da energia do mundo.

Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.

O espectro eletromagnético

O espectro eletromagnético é composto por todas as frequências de radiação eletromagnética que propagam energia e viajam pelo espaço na forma de ondas. É usado para todas as formas de comunicação sem fio, incluindo: telefone celular, transmissão de rádio e televisão, localização de posição GPS, navegação de rádio aeronáutica e marítima e comando e controle de satélite.

Fonte: Nasa

Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.

Em algum lugar acima de você agora, um avião está transmitindo sua localização, velocidade e rumo em 1090 MHz . Um satélite meteorológico geoestacionário a 35 mil quilômetros da Terra está transmitindo mapas meteorológicos detalhados em 1.694,1 MHz .Um satélite GPS voando a 13.000 quilômetros por hora está enviando um sinal para o seu telefone a 1.575,42 MHz . Um carro passando por sua casa está transmitindo um sinal com a leitura da pressão de um de seus pneus em 315 MHz .

Fonte: Nasa

O espectro eletromagnético

Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.

Osciladores harmônicos fornecem a base física para entender as oscilações e ondas.

Massa-mola

Pêndulo

Cordas

Vigas

Fonte: https://karamba3d.com

Fonte: https://commons.wikimedia.org

Fonte: https://commons.wikimedia.org

Fonte: https://commons.wikimedia.org

Nesse curso vamos estudar as oscilações. Em cursos futuros vocês devem estudar as ondas.

Qual a diferença entre oscilações e ondas?

Motivação

Sistemas mecânicos oscilam

Sem amortecimento a oscilação é mantida no tempo.

Com amortecimento a oscilação diminui no tempo.

Fonte: Adaptado de PHET

Fonte: Adaptado de PHET

Motivação

Os sistemas elétricos oscilam

Indutores

Capacitores

Resistores

Os indutores, capacitores e resistores controlam a distribuição de energia nos circuitos elétricos.

Quais os análogos eletro-mecânicos?

m

m

L

L

k

k

1/C

1/C

x

x

q

q

LINK

Motivação

O clima oscila

A Oscilação do Sul é a diferença na pressão do ar medida entre as regiões orientais (Tahiti) e ocidentais (Darwin, Austrália) do Oceano Pacifico. Quando a pressão é elevada em Darwin é baixa no Tahiti e vice-versa.

Valores negativos elevados em vermelho representam episódios de El Niño enquanto que valores positivos elevados a azul se referem a condições de La Niña.

FONTE: http://enos.cptec.inpe.br

As pontes oscilam

Amplitude máxima:

Período do evento:

A = \pm 60\text{ cm}

A = \pm 60\text{ cm}

T = 7\text{ min}

T = 7\text{ min}

Fonte: https://youtu.be/mOsazjJkqCc

Motivação

Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.

A compreensão das vibrações e ondas é essencial para a compreensão do nosso mundo físico.

Muito do que vemos e ouvimos só é possível por causa de vibrações e ondas.

Cientistas e engenheiros aprenderam a usar ondas para entender melhor nosso ambiente e compartilhar informações ao redor do mundo.

MODELAGEM FÍSICA E MATEMÁTICA

Os sistemas oscilatórios podem ser modelados como uma mola ou um pêndulo com a finalidade de analisar o movimento.

Procuramos uma lei física para prever o movimento periódico.

A hipótese é que o deslocamento a partir do equilíbrio varie pouco para uma dada força aplicada.

O movimento harmônico simples é um tipo especial de movimento repetitivo, exibido por um pêndulo ou um objeto sobre uma mola.

Real

Modelo

U(x)

U(x)

-U(0)

-U(0)

x_0

x_0

x

x

F(x)

F(x)

x

x

x_0

x_0

F=-\frac{dU}{dx}\approx -k (x-x_0)

F=-\frac{dU}{dx}\approx -k (x-x_0)

U=A+B(x-x_0)^2

U=A+B(x-x_0)^2

Equilíbrio estável

;k=2B

;k=2B

U_{min}=A<0

U_{min}=A<0

+C(x-x_0)^3

+C(x-x_0)^3

+D(x-x_0)^4

+D(x-x_0)^4

A Lei de Hooke. Movimento próximo do equilíbrio.

Fonte: PHET

No equilíbrio a força que a mola exerce sobre o pivô é nula.

A força que a mola exerce sobre o pivô sempre atua no sentido de restaurar o equilíbrio.

O sentido da força que a mola exerce sobre o pivô é sempre contrário ao do deslocamento a partir do ponto de equilíbrio.

Esse tipo de força de natureza elástica é dita uma força restauradora.

A Lei de Hooke. Movimento próximo do equilíbrio.

Fonte: PHET

A lei de Hooke (pequenas deformações) é escrita como uma força restauradora:

A constante elástica ( $k$ ) é a dureza da mola (dimensão força/comprimento : N/m).

A posição ( $x_0$ ) é o comprimento de equilíbrio da mola (dimensão de comprimento: m).

A posição ( $x)$ é o comprimento de deformação da mola (dimensão de comprimento: m).

F(x)=-k(x-x_0)

F(x)=-k(x-x_0)

F(x)=-kx

F(x)=-kx

ou

Qual é o valor de $k$ ?

$x_0 =$ 1,000 m

$x =$ 1,400 m

O movimento harmônico simples. A equação do MHS:

A lei de Hooke define completamente o movimento do objeto para pequenos deslocamentos próximo do equilíbrio:

Sendo a força resultante atuando sobre o objeto, então, pela 2a. lei de Newton:

F=-kx

F=-kx

Aplicando o cálculo:

ma=-kx

ma=-kx

\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x

\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x

O parâmetro $\omega_0$ é definido como frequência angular porque sua dimensão é do inverso do tempo. No Sistema Internacional é o rad/s.

\omega_0^2 = \frac{k}{m}

\omega_0^2 = \frac{k}{m}

onde

Algo notável sobre a Lei de Hooke é que a força não é constante. Ela muda de magnitude e sentido!

Fonte: Tipler

Uma vez construído um sistema oscilatório do tipo massa-mola, a frequência angular fica definida pela própria construção do sistema.

O movimento harmônico simples. A equação do MHS:

O movimento desse sistema massa-mola é modelado por meio de uma Equação Diferencial de Segunda Ordem (EDO):

A solução da equação é a função de movimento que fornece a posição do objeto ( $x$ ) para qualquer tempo ( $t$ ). A solução da equação é uma função $x(t)$ .

Qual é a função, $x$ , que satisfaz a EDO?

\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x

\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x

Deve ser uma função que derivada duas vezes no tempo seja a própria função!

\frac{d^2x}{dt^2}\propto x

\frac{d^2x}{dt^2}\propto x

O movimento harmônico simples. A função do MHS:

A solução da EDO deve ser uma função periódica no tempo. Uma possibilidade (entre outras) é:

Como verificar que essa função é uma solução da EDO?

x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t +\delta)

x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t +\delta)

Posição

\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x

\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x

TESTE:

1) Derive uma vez no tempo:

\frac{dx(t)}{dt} = -\omega_0x_0\text{ sen}(\omega_0t+\delta)

\frac{dx(t)}{dt} = -\omega_0x_0\text{ sen}(\omega_0t+\delta)

Velocidade

2) Derive duas vezes no tempo:

\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega_0^2x_0\text{ cos}(\omega_0t+\delta)

\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega_0^2x_0\text{ cos}(\omega_0t+\delta)

Aceleração

3) Substitua na EDO:

\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega_0^2x(t)

\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega_0^2x(t)

a_x(t)= -\omega_0^2x(t)

a_x(t)= -\omega_0^2x(t)

F= -kx

F= -kx

O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.

O movimento harmônico simples é modelado pela equação

A solução é uma função periódica no tempo. Exemplo:

x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t +\delta)

x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t +\delta)

Quais os significados dos parâmetros: ${A,\omega_0,\delta}$ ?

\frac{d^2x(t)}{dt^2} +\omega_0^2x(t) = 0

\frac{d^2x(t)}{dt^2} +\omega_0^2x(t) = 0

Equação

Função

São esses os objetivos da aula.

fase

Constante de fase

Frequência angular

Amplitude

O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.

Amplitude do MHS: $A$ ou $x_{max}$ ou $x_0$ .

Representa a deformação máxima ( $|x_{max}|=A$ ) a partir da posição de equilíbrio.

A amplitude não é função do tempo.

A amplitude tem dimensão de comprimento.

x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t +\delta)

x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t +\delta)

+A

+A

-A

-A

amplitude

O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.

O período no MHS: $T$

Está relacionado ao tempo de ida e volta do objeto ao completar uma oscilação.

O tempo para uma oscilação completa tem o nome de Período, $T$ .

A dimensão do período é o tempo e a unidade no Sistema Internacional é o segundo.

Fonte: Geogebra

T

T

T

T

O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.

O objeto retornou a sua posição inicial e o tempo avançou do período $T$ . Sua posição é a mesma nos tempos $t+T$ e $t$ :

x(t+T) = x(t)

x(t+T) = x(t)

x_0\cos[\omega_0 (t+T) +\delta]= x_0\cos[\omega_0 t +\delta]

x_0\cos[\omega_0 (t+T) +\delta]= x_0\cos[\omega_0 t +\delta]

x_0\cos[\omega_0 t +\omega_0 T+\delta]= x_0\cos[\omega_0 t +\delta]

x_0\cos[\omega_0 t +\omega_0 T+\delta]= x_0\cos[\omega_0 t +\delta]

Uma vez que $\cos(\theta +2\pi n)=\cos(\theta)$ , a igualdade anterior é satisfeita quando:

\omega_0 T = 2\pi n

\omega_0 T = 2\pi n

O período $T$ é o tempo para completar um ciclo ( $n=1$ ):

T=\frac{2\pi}{\omega_0}

T=\frac{2\pi}{\omega_0}

T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}

T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

\equiv\frac{inercial}{elástica}

\equiv\frac{inercial}{elástica}

O período no MHS: $T$

t

t

t+T

t+T

t

t

t+T

t+T

O período é pequeno para objetos com pequena massa e é grande para objetos com grande massa se a propriedade elástica é a mesma.

x(t)

x(t)

x(t+T)

x(t+T)

O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.

Frequência angular do MHS: $\omega_0$

Está relacionada à rapidez em uma oscilação completa.

A frequência angular $\omega_0$ é proporcional ao recíproco do período $T$ .

A frequência angular e o período não dependem da amplitude do MHS.

\omega_0=\frac{2\pi}{T}

\omega_0=\frac{2\pi}{T}

Tem unidade de radianos/segundo (rad/s).

\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}

\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}

Fonte: Geogebra

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.

Frequência do MHS: $f_0$

A frequência angular, $\omega_0$ pode ser relacionada à frequência de oscilação, $f_0$ :

A frequência é numericamente igual ao número de oscilações completadas em 1 s.

f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}

f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}

Tem dimensão de 1/s, ou hertz (Hz)

f_0=\frac{1}{T}

f_0=\frac{1}{T}

f_0=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega_0}}

f_0=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega_0}}

Para o sistema massa-mola:

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

Não importa como colocamos o bloco preso a mola para oscilar! O tempo para completar um ciclo (ir e voltar) será sempre o mesmo para o sistema massa-mola porque depende apenas das características do sistema: {m, k}.

Você compreende esta afirmação?

Deveria!

O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.

A constante de fase MHS: $\delta$ ou $\varphi_0$

É uma condição inicial do sistema massa-mola.

Está relacionada ao estágio onde o objeto é encontrado num tempo t tomado como inicial. Usualmente, t = 0.

A constante de fase é dada em radianos.

Todos os valores da constante de fase entre 0 e π rad correspondem a uma partícula na metade superior do círculo que se desloca para a esquerda (a partir de t = 0).

Todos os valores da constante de fase entre π e 2π rad correspondem a uma partícula na metade inferior do círculo que se desloca para a direita (a partir de t = 0).

Fonte: Geogebra

O movimento harmônico simples. Cinemática.

A posição, velocidade e aceleração são lidos no eixo vertical para cada instante de tempo que é lido no eixo horizontal.

As funções $x(t), v(t), a(t)$ são os modelos matemáticos para um objeto oscilando no tempo.

x(t) = A\,\text{cos}\left( \omega_0 t+\phi_0 \right)

x(t) = A\,\text{cos}\left( \omega_0 t+\phi_0 \right)

Fonte: Geogebra

As funções permitem descrever o movimento sem a necessidade de desenhar.

v(t) = -\omega_0 A\text{sen}\left( \omega_0 t+\phi_0 \right)

v(t) = -\omega_0 A\text{sen}\left( \omega_0 t+\phi_0 \right)

a(t) = -\omega_0^2 A\text{cos}\left( \omega_0 t+\phi_0 \right)

a(t) = -\omega_0^2 A\text{cos}\left( \omega_0 t+\phi_0 \right)

No MHS você sempre vai obter a relação de recorrência:

a(t)=-\omega_0^2 x(t)

a(t)=-\omega_0^2 x(t)

O movimento harmônico simples. Cinemática.

Cada imagem registra uma posição e um instante de tempo. Deslocando as imagens vemos que o movimento é periódico no tempo.

Conhecida a função movimento, nós obtemos toda a informação do movimento.

No equilíbrio ( $\vec F_R = \vec 0$ ):

Nos pontos de retorno:

x=0

x=0

v=\pm v_{max}=\pm\omega_0A

v=\pm v_{max}=\pm\omega_0A

a=0

a=0

x=\pm A

x=\pm A

v=0

v=0

a=\pm a_{max}=\pm \omega_0^2A

a=\pm a_{max}=\pm \omega_0^2A

Fonte: Eric Mazur

\vec v_{max}

\vec v_{max}

\vec a = \vec 0

\vec a = \vec 0

\vec a_{max}

\vec a_{max}

\vec v = \vec 0

\vec v = \vec 0

\vec a_{max}

\vec a_{max}

\vec v = \vec 0

\vec v = \vec 0

\vec a = \vec 0

\vec a = \vec 0

\vec v_{max}

\vec v_{max}

\vec a_{max}

\vec a_{max}

\vec v = \vec 0

\vec v = \vec 0

Você será avaliado se sabe dizer estas direções em um tempo t qualquer do movimento do objeto.

F_R=-kx

F_R=-kx

retorno

equilíbrio

retorno

equilíbrio

O movimento harmônico simples. Cinemática.

Os gráficos da cinemática fornecem diversas informações sobre o movimento.

Em quais intervalos a velocidade é negativa e positiva em um gráfico $x(t)$ ?

A inclinação da reta tangente (ou secante) determina o sinal da velocidade?

v<0

v<0

v=0

v=0

v>0

v>0

negativa

nula

positiva

Em quais instantes a velocidade é nula em um gráfico $x(t)$ ?

negativa

nula

positiva

a<0

a<0

a>0

a>0

Para quais intervalos a aceleração é positiva, nula e negativa?

O movimento harmônico simples. Cinemática.

Existe uma correspondência entre o MHS e o MCU.

No círculo, a posição é dado pelo ângulo de fase:

\varphi = \omega_0 t +\delta

\varphi = \omega_0 t +\delta

No eixo x, é dada pela projeção do fasor R na reta:

x(t) = R\cos\left( \omega_0 t+\delta \right)

x(t) = R\cos\left( \omega_0 t+\delta \right)

onde $R=A$ , a amplitude do deslocamento.

Fonte: Geogebra

A posição da partícula de massa $m$ .

\cos\varphi=\frac{x(t)}{R}

\cos\varphi=\frac{x(t)}{R}

O movimento harmônico simples. Cinemática.

A velocidade da partícula de massa $m$ .

No círculo é dado pelo vetor tangente:

\vec{\text{v}}(t)

\vec{\text{v}}(t)

No eixo x, é dada pela projeção do vetor, $\vec{\text{v}}(t)$ , na reta:

v_x(t) =\text{v }\text{cos}\left( \frac{\pi}{2}-(\omega_0 t+\delta) \right)

v_x(t) =\text{v }\text{cos}\left( \frac{\pi}{2}-(\omega_0 t+\delta) \right)

onde $\text{v}=\omega R$ é a amplitude da velocidade.

Existe uma correspondência entre o MHS e o MCU.

Fonte: Geogebra

v_x

v_x

\text{cos}\theta=\frac{v_x(t)}{\text{v}}

\text{cos}\theta=\frac{v_x(t)}{\text{v}}

{\text{v}}=\omega_0R

{\text{v}}=\omega_0R

v_x(t)

v_x(t)

\theta

\theta

que faz um ângulo $\theta = \pi/2-\varphi$ com a horizontal.

\varphi

\varphi

v_x(t) =\text{v }\text{sen} (\omega_0 t+\delta)

v_x(t) =\text{v }\text{sen} (\omega_0 t+\delta)

\theta

\theta

O movimento harmônico simples. Cinemática.

A aceleração da partícula de massa $m$ .

No círculo é dado pelo vetor radial:

\vec a(t)

\vec a(t)

No eixo x, é dada pela projeção do vetor na reta:

a_x(t) =\text{a }\text{cos}\left( \omega_0 t+\delta \right)

a_x(t) =\text{a }\text{cos}\left( \omega_0 t+\delta \right)

onde $\text{a}=\omega_0^2 R$ é a amplitude da aceleração.

Existe uma correspondência entre o MHS e o MCU.

Fonte: Geogebra

a_x

a_x

{\text{a}}=\omega_0^2R

{\text{a}}=\omega_0^2R

a_x(t)

a_x(t)

\varphi

\varphi

\text{cos}\varphi=\frac{a_x(t)}{\text{a}}

\text{cos}\varphi=\frac{a_x(t)}{\text{a}}

\varphi

\varphi

RESUMO

Inicie o tutorial ao lado.

Visualize as simulações e a correspondência entre o movimento, gráficos e equações.

Questão 1

Dada a função que representa um sistema massa-mola:

x(t) = 4,0 \cos\left( \frac{\pi}{2}t+\frac{3\pi}{2} \right)

x(t) = 4,0 \cos\left( \frac{\pi}{2}t+\frac{3\pi}{2} \right)

a) Qual a frequência angular?

b) Qual a frequência?

c) Qual o período?

Considere a posição em metros e o tempo em segundos.

(a) No tempo indicado, em que posição está o objeto?

(e) Em que tempo o objeto passará novamente por essa posição?

(b) Qual é a amplitude?

(c) Qual é o período?

(d) Qual é a constante de fase?

x(t) = A\cos\left( \omega_0 t+\phi_0 \right)

x(t) = A\cos\left( \omega_0 t+\phi_0 \right)

Questão 2

Dada a função que representa um sistema massa-mola:

x(t) = 4,0 \cos\left( \frac{\pi}{2}t+\frac{3\pi}{2} \right)

x(t) = 4,0 \cos\left( \frac{\pi}{2}t+\frac{3\pi}{2} \right)

a) Qual a constante de fase?

b) O objeto está se deslocando no sentido positivo ou negativo do eixo x?

Considere a posição em metros e o tempo em segundos.

c) Qual a posição e a velocidade no instante t = 2,0 s?

d) Qual a posição e a velocidade no instante t = 0 s?

Questão 3

Questão 4

Dada a função que representa um sistema massa-mola:

x(t) = 4,0 \cos\left( \frac{\pi}{2}t+\frac{3\pi}{2} \right)

x(t) = 4,0 \cos\left( \frac{\pi}{2}t+\frac{3\pi}{2} \right)

a) Qual a posição da massa no tempo t = 2,0 s?

b) Qual a velocidade da massa no tempo t = 2,0 s?

c) Qual a aceleração da massa no tempo t = 2,0 s?

Considere a posição em metros e o tempo em segundos.

d) Se a massa tem valor $m=2,0$ kg, qual a constante da mola?

A inclinação da reta tangente determina o sinal e a magnitude da velocidade em um instante de tempo.

v_1 \text{ e } v_2 > 0

v_1 \text{ e } v_2 > 0

A partícula está desacelerando, pois $v > 0$ e $a < 0$ .

v_3\text{ e }v_4 < 0

v_3\text{ e }v_4 < 0

A partícula está acelerando, pois $v < 0$ e $a < 0$ .

(a) Qual é a função movimento do sistema massa-mola mostrado no gráfico abaixo?

t_1

t_1

t_2

t_2

t_3

t_3

t_4

t_4

Questão 5

(b) Qual é a função velocidade do sistema massa-mola mostrado no gráfico abaixo?

Questão 6

Uma mola de constante elástica k = 56,0 N/m tem um peso de chumbo, com massa de 1,00 kg, preso na extremidade. O peso é puxado em +5,5 cm a partir do ponto de equilíbrio e depois é solto de modo a adquirir uma velocidade inicial de -0,32 m/s. Qual é a equação de movimento da oscilação resultante?

Antes de resolver:

No instante acima, qual o sentido da força elástica sobre o bloco?

No instante acima, qual o sentido da aceleração sobre o bloco?

No instante acima, a velocidade aumenta ou diminui em magnitude?

Em que região, a aceleração e velocidade têm sentidos contrários ao soltar a massa? A velocidade vai aumentar ou diminuir?

Questão 7

Um bloco de 1,55 kg desliza sobre um plano horizontal ligado a uma mola horizontal de constante elástica k = 2,55 N/m. O bloco é puxado para a direita por uma distância d = 5,75 cm e liberado a partir do repouso. Qual será a velocidade do bloco 1,50 s após ser liberado?

Fonte: Wolfgang & Bauer

Questão 8

Astronautas no espaço não conseguem se pesar ficando em pé sobre uma balança comum de banheiro. Em vez disso, eles determinam sua massa oscilando presos a uma grande mola. Suponha que uma astronauta prenda a extremidade de uma grande mola a seu cinto e a outra extremidade a um gancho fixado no interior da nave espacial. Outro astronauta a puxa na direção oposta ao gancho e a solta. O comprimento da mola em função do tempo é mostrado na figura.

a. Qual é a massa da astronauta se a constante elástica for de 240 N/m?

b. Qual é sua velocidade quando o comprimento da mola for de 1,2 m?

Fonte: Randall Knight

Questão 9

(c) Escreva a equação para $x(t)$ .

(a) Determine que gráfico mostra apropriadamente a posição da bola como uma função do tempo.

(b) Determine a frequência e o período do movimento.

(d) Se a massa da bola é 2 kg, qual é a constante elástica?

Fonte: https://www.compadre.org/Physlets/waves/prob16_2.cfm?NOH=1

Questão 10

(b) Escreva a equação para $v_x(t)$ .

(a) Determine que gráfico mostra apropriadamente a velocidade da bola como uma função do tempo.

(c) Qual é a energia mecânica total do sistema (próxima aula).

Fonte: https://www.compadre.org/Physlets/waves/prob16_3.cfm?NOH=1

Aula 18

Fundamentos de Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

UFRN - ECT - BCT