IE3036 - Sistemas de Control 1

2do ciclo, 2024

Lección 9: Análisis empleando el Root Locus

¿Por qué?

PID para el eje de un satélite

¿Por qué fue imposible obtener \(t_s\le 1 \text{ s}\) sólo con control PI?

R(s)
Y(s)
\dfrac{1}{s^2}
+
-
C_{PI}(s)
1+L(s)=1+\left(\dfrac{k_Ps+k_I}{s}\right)\left(\dfrac{1}{s^2}\right)=0
1+L(s)=1+\left(\dfrac{k_Ps+k_I}{s}\right)\left(\dfrac{1}{s^2}\right)=0
s^3+k_Ps+k_I=(s+a+\jmath b)(s+a-\jmath b)(s+c)=0
s^3+k_Ps+k_I=(s+a)(s+b)(s+c)=0
\Rightarrow 2a+c=0
\Rightarrow a+b+c=0

dos polos complejos y uno real en el LHP

tres polos reales en el LHP

1+L(s)=1+\left(\dfrac{k_Ps+k_I}{s}\right)\left(\dfrac{1}{s^2}\right)=0
s^3+k_Ps+k_I=(s+a+\jmath b)(s+a-\jmath b)(s+c)=0
s^3+k_Ps+k_I=(s+a)(s+b)(s+c)=0
\Rightarrow 2a+c=0
\Rightarrow a+b+c=0

dos polos complejos y uno real en el LHP

tres polos reales en el LHP

contradicción!

contradicción!

1+L(s)=1+\left(\dfrac{k_Ps+k_I}{s}\right)\left(\dfrac{1}{s^2}\right)=0
s^3+k_Ps+k_I=(s+a+\jmath b)(s+a-\jmath b)(s+c)=0
s^3+k_Ps+k_I=(s+a)(s+b)(s+c)=0
\Rightarrow 2a+c=0
\Rightarrow a+b+c=0

dos polos complejos y uno real en el LHP

tres polos reales en el LHP

contradicción!

contradicción!

Si bien el controlador tal vez pueda "colocar" los polos del sistema donde queramos, NO lo hace de forma arbitraria sino que está limitado al Root Locus del sistema.

El Root Locus es un gráfico que muestra cómo cambia la ubicación de los polos de un sistema en función de una ganancia (típicamente la ganancia de un controlador).

¿Cómo se comportan los polos conforme cambia el resorte?

f(t)
1
K
2
x(t)

¿Cómo se comportan los polos conforme cambia el resorte?

f(t)
1
K
2
x(t)
G(s)=\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{1}{s^2+2s+K}
\text{polos:}\quad s=-1 \pm \sqrt{1-K}
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

10 Reglas para esbozar el Root Locus

+
-
K
G(s)
H(s)
R(s)
Y(s)

Por el momento nos restringiremos al caso

+
-
K
G(s)
H(s)
R(s)
Y(s)

Por el momento nos restringiremos al caso

T(s)

Función de transferencia del sistema en lazo abierto:

L(s)=KG(s)H(s)
1+L(s)=1+KG(s)H(s)=1+K\dfrac{Q(s)}{P(s)}=0

\(Q(s)=0\) nos da los ceros de \(L(s)\)

Polos del sistema en lazo cerrado:

\(P(s)=0\) nos da los polos de \(L(s)\)

Esto indica entonces que es posible representar los polos del sistema en lazo cerrado en función de los ceros y polos del sistema en lazo abierto.

1+K\dfrac{Q(s)}{P(s)}=P(s)+KQ(s)=0

nos da los polos de \(T(s)\)

Pasos para esbozar el Root Locus

  1. Se determina la función de transferencia en lazo abierto \(L(s)=KG(s)H(s)\).
  2. Se grafica el diagrama de polos y ceros de \(G(s)H(s)=Q(s)/P(s)\).
  3. Se aplican las 10 reglas de esbozo.
  4. La figura resultante presenta las trayectorias (locus) de los polos del sistema en lazo cerrado (roots) en función de los polos y ceros del sistema en lazo abierto.

Regla 1

Hay \(n\) líneas o trayectorias en donde

n=\max (\#\text{polos}, \#\text{ceros})

Regla 2

Conforme \(K\) incrementa desde \(0^+\) hasta \(+\infty\) las raíces se mueven desde los polos de \(L(s)\) hacia los ceros de \(L(s)\).

\displaystyle\lim_{K\to+\infty} P(s)+KQ(s) \approx KQ(s)=0
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

Regla 3

Cuando las raíces son complejas, éstas ocurren en pares conjugados. Esta condición implica que el Root Locus es simétrico con respecto al eje real.

\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

Regla 4

Las raíces no cruzan sobre sus propias trayectorias.

\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

Regla 5

La porción del eje real a la izquierda de un polo o cero real de número impar, pertenece a una de las trayectorias del diagrama. Ninguna otra porción del eje real pertenece al Root Locus.

\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

Ejercicio 1

¿Porciones del eje real?

\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

Regla 6

Las trayectorias salen (break-out) y entran (break-in) al eje real a un ángulo de 90°.

Regla 7

Si no hay suficientes polos o ceros para formar pares (polo-cero) entonces las trayectorias extras se van al infinito (un polo extra) o vienen del infinito (un cero extra).

\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

Regla 8

Las trayectorias se van al infinito siguiendo asíntotas. El número total de asíntotas está dado por \(n-m\), donde

m=\min (\#\text{polos}, \#\text{ceros})

Regla 8

Los ángulos de las asíntotas están dados por:

\phi_q=\dfrac{2q+1}{n-m}\times 180°, \\ q=0,1,2,\cdots,n-m-1

Regla 8

y salen de un centroide \(C\) ubicado en

C=\frac{\sum\text{polos} - \sum\text{ceros}}{n-m}
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

Regla 9

Si hay por lo menos dos trayectorias que van al infinito, entonces la suma de todas las raíces es constante.

\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

Regla 10

Si \(K\) varía desde \(0^-\) hacia \(-\infty\) entonces podemos esbozar el Root Locus invirtiendo la Regla 5 (es decir, tomamos las porciones del eje real que no toma originalmente la regla) y agregando 180° a los ángulos de las asíntotas. Esto rara vez es necesario ya que puede absorberse el signo negativo de \(K\) dentro de la función de transferencia del sistema en lazo abierto.

¿Qué pasa si queremos el gráfico exacto y no un esbozo? ¿O si es muy impráctico hacer el esbozo?

% Sólo gráfico
rlocusplot(G*H);

% Herramienta específica
rltool(G*H);

% Herramienta completa
sisotool(G, [], H); % = sisotool(G*H);

¿Qué pasa si queremos el gráfico exacto y no un esbozo? ¿O si es muy impráctico hacer el esbozo?

% Sólo gráfico
rlocusplot(G*H);

% Herramienta específica
rltool(G*H);

% Herramienta completa
sisotool(G, [], H); % = sisotool(G*H);

Esto no sustituye la intuición inmediata (por inspección) que obtenemos al saber esbozar el Root Locus.

Ejercicio 2

¿Es correcto el Root Locus?

\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)