IE3036 - Sistemas de Control 1

2do ciclo, 2024

Lección 4: Linealización simple de sistemas no lineales

¿Por qué?

Ejemplo: el péndulo simple

T
\theta
J

¿Modelo del sistema?

G(s)=\dfrac{\Theta(s)}{\mathrm{T}(s)}
\mathrm{T}(s)=\mathcal{L}\left\{T(t)\right\}=-Mg\ell\mathcal{L}\left\{\sin\left(\theta(t)\right)\right\}
M\ell^2\ddot{\theta}+Mg\ell\sin(\theta)=0
M\ell^2\ddot{\theta}+Mg\ell\sin(\theta) \approx M\ell^2\ddot{\theta}+Mg\ell\theta=0

problema, esta transformada NO existe

este término hace a la EDO no lineal

aproximación de ángulos pequeños

¿Qué tan común es que ocurra esto?

linealización

¿Qué tan común es que ocurra esto?

Linealización local de componentes alrededor de un punto de operación

¿Cuántas funciones lineales vs no lineales podemos graficar en el plano?

f(y)
y
f(y)
y
y_o
f(y_o)

punto de operación

\delta y
\delta f(y)
\text{línea}(y) \approx f(y)
\text{siempre que } y \approx y_o

Si \(y \approx y_o \) entonces podemos aproximar a \(f(y)\) mediante la línea recta:

\delta y = y - y_o
\delta f(y) = f(y) - f(y_o)

Si definimos

f(y) - f(y_o) = m_o (y - y_o)
\Rightarrow \delta f(y) = m_o \delta y
\Rightarrow f(y) \approx m_o \delta y + f(y_o)

(recta que pasa por el origen)

m_o = \left. \dfrac{d f(y)}{dy} \right\vert_{y=y_o}
f(y) \approx \left. \dfrac{d f(y)}{dy} \right\vert_{y=y_o} \underbrace{(y-y_o)}_{\delta y} + f(y_o)

Términos lineales de la expansión por series de Taylor de \(f(y)\) alrededor de \(y_o\)

  1. Encontramos la no linealidad \(f(y)\).
  2. Encontramos el punto de operación \(y_o\).
  3. Aproximamos con la fórmula.
  4. Transformamos la EDO a las coordenadas linealizadas y se sustituye la aproximación de \(f(y)\).

Procedimiento

Linealice para pequeñas variaciones alrededor de \(y_o=\pi/4\) y encuentre una (aproximación de la) respuesta del sistema no lineal.

\ddot{y}+2\dot{y}+\cos(y)=0

Linealice para pequeñas variaciones alrededor de \(y_o=\pi/4\) y encuentre una (aproximación de la) respuesta del sistema no lineal.

\ddot{y}+2\dot{y}+\cos(y)=0
G = tf(1, [-2/sqrt(2), -4/sqrt(2), 1]);
[deltay, t] = step(G, 1);
plot(t, deltay + pi/4, 'LineWidth', 1);

Ejercicio 1

Encuentre la impedancia del componente

+
-
v
i
v=\ln(i)
i_o=1 \text{ A}

Determinando el punto de operación

Si no se provee el punto de operación y este no puede obtenerse mediante algún tipo de análisis en estado estacionario entonces:

  • \(y_o=\) referencia del sistema de control
  • \(y_o\) tal que \(f(y_o)=0\) para una selección estratégica de \(f(y)\)

Si no se provee el punto de operación y este no puede obtenerse mediante algún tipo de análisis en estado estacionario entonces:

  • \(y_o=\) referencia del sistema de control
  • \(y_o\) tal que \(f(y_o)=0\) para una selección estratégica de \(f(y)\)

punto de equilibrio

¿Respuesta al escalón del modelo?

G(s)=\dfrac{\Delta \Theta(s)}{\mathrm{T}(s)}

modelo

pierna

Ejemplo de aplicación

¿Respuesta al escalón del modelo?

G(s)=\dfrac{\Delta \Theta(s)}{\mathrm{T}(s)}
G(s)=\dfrac{\frac{1}{J}}{s^2 + \frac{D}{J}s + \frac{Mg\ell}{2J}}

modelo

pierna

Desafortunadamente MATLAB no puede linealizar directamente el modelo no lineal.

J = 30; D = 10; M = 15; ell = 1; g = 9.81;

G = tf(1/J, [1, D/J, M*g*ell/(2*J)]);
step(G);

Desafortunadamente MATLAB no puede linealizar directamente el modelo no lineal.

J = 30; D = 10; M = 15; ell = 1; g = 9.81;

G = tf(1/J, [1, D/J, M*g*ell/(2*J)]);
step(G);

pero Simulink sí

De ecuaciones diferenciales a diagramas de bloques

  1. Se despeja para la derivada más alta.
  2. Se grafica la secuencia de integradores.
  3. Se generan los términos asociados a la salida.
  4. Se combina con la entrada y se cierra el lazo.

Procedimiento

¿Cuál es el diagrama de bloques?

y^{(3)}-2\ddot{y}-5\dot{y}-6y=u

¿Cuál es el diagrama de bloques?

y^{(3)}-2\ddot{y}-5\dot{y}-6y=u
y^{(3)} = 2\ddot{y} + 5\dot{y} + 6y + u

Regresando al ejemplo de aplicación

Luego se envía al Model Linearizer

Ejercicio 2

¿Cuál debería ser el punto de operación para la linealización?

\dot{y}+e^{-y}=1