Lección 2: Funciones de Transferencia y Diagramas de Bloques

IE3036 - Sistemas de Control 1

2do ciclo, 2024

¿Por qué?

G(s)
u(t)
y(t)=\mathcal{G}\left\{u(t)\right\}

planta

entrada

salida

U(s)
Y(s)=G(s)U(s)

función de transferencia

Ejemplo: ¿Cuál es la respuesta en el tiempo del sistema si la entrada es el escalón unitario?

u(t)
y(t)
\dfrac{10}{s^2-4s-12}
u(t)
y(t)
\dfrac{10}{s^2-4s-12}
y(t)=\left( -\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{24}e^{6t}+\dfrac{5}{8}e^{-2t}\right)\mathbf{1}(t)

Ejemplo: ¿Cuál es la respuesta en el tiempo del sistema si la entrada es el escalón unitario?

Ejemplo: ¿Cuál es la respuesta impulsional del sistema?

u(t)
y(t)
\dfrac{10}{s^2-4s-12}
u(t)
y(t)
\dfrac{10}{s^2-4s-12}
g(t)=\dfrac{5}{4}\left(e^{6t}-e^{-2t}\right)\mathbf{1}(t)

Ejemplo: ¿Cuál es la respuesta impulsional del sistema?

Análisis en Matlab

u(t)
y(t)
\dfrac{10}{s^2-4s-12}
G = tf(10, [1, -4, -12])
step(G);
impulse(G);
linearSystemAnalyzer(G);

ejemplo_analisis.m

Ejemplo: Encuentre la EDO que describe al sistema LTI con función de transferencia:

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{2s+1}{s^2+6s+2}
G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{2s+1}{s^2+6s+2}
\ddot{y}+6\dot{y}+2y=2\dot{u}+u

Ejemplo: Encuentre la EDO que describe al sistema LTI con función de transferencia.

Ejercicio 1

Encuentre la respuesta en el tiempo del sistema

u(t)
y(t)
\dfrac{3s^2+12s+11}{s^2+5s+6}
=e^{-t}

Ejercicio 1

G = tf([3, 12, 11], [1, 5, 6]);
t = 0:0.01:5;
u = exp(-t);
lsim(G, u, t);

Tratemos de obtener intuición sobre \(G(s)\)

y
b\dot{y}
u
\Rightarrow \ddot{y}+\dfrac{b}{m}\dot{y}=\dfrac{1}{m}u

distancia recorrida 1D

resistencia del viento

fuerza de empuje ("gas")

¿G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}?
u(t)
y(t)
\dfrac{1}{ms^2+bs}
U(s)
Y(s)
u(t) \sim \text{ fuerza } \sim \text{ [N] } \\ y(t) \sim \text{ distancia } \sim \text{ [m] }
u(t)
y(t)
\dfrac{1}{ms^2+bs}
U(s)
Y(s)
u(t) \sim \text{ fuerza } \sim \text{ [N] } \\ y(t) \sim \text{ distancia } \sim \text{ [m] }

cosa

otra cosa

G(s)

Interconexión de múltiples sistemas

mano

joystick

sensor

emisor

(medio)

receptor

carro

referencia

joystick

emisor

medio

receptor

carro

Diagramas de bloques

Ejemplo: servomotor

+
-

referencia

motor

sensor

controlador

salida

driver

\(\big\uparrow\) intuición

\(\big\downarrow\) facilidad algebráica

¿Cómo retomamos la facilidad algebraica?

Álgebra de bloques

Los diagramas de bloques nos indican cómo interconectar los elementos en los sistemas...

Reglas fundamentales

Conexión en serie | cascada

\equiv
G_1
G_2
U
Y
G_1G_2
U
Y
Geq = G1 * G2

Conexión en paralelo

\equiv
G_1
G_2
U
Y
+
G_1+G_2
U
Y
Geq = G1 + G2

Retroalimentación negativa

G_1
U
Y
+
G_2
-
\equiv
Geq = feedback(G1, G2)
\dfrac{G_1}{1+G_1G_2}
U
Y

¿Puede demostrarlo?

Ejemplo: Encuentre el equivalente en lazo abierto del siguiente diagrama de bloques.

10
R
Y
+
-
\frac{1}{s}
\frac{100}{s+10}
k
+
-
R
Y
\dfrac{1000k}{s^2+10s+100(1+10k)}
R
Y
\dfrac{1000k}{s^2+10s+100(1+10k)}

Simplificación y análisis en Matlab (Control Systems Toolbox)

ejemplo_bloques.m

10
R
Y
+
-
\frac{1}{s}
\frac{100}{s+10}
k
+
-

Regresando al lazo de control canónico

+
-
C(s)
G(s)
H(s)
R(s)
Y(s)

lazo cerrado | implementación

+
-
C(s)
G(s)
H(s)
R(s)
Y(s)

lazo cerrado | implementación

\(E(s)\)

error

\(U(s)\)

controlador

planta

sensor

lazo abierto| análisis

R(s)
Y(s)
\dfrac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)H(s)}
\equiv
T(s)

Ejercicio 2

k_P
\frac{k_I}{s}
E
U
+
k_Ds
¿C(s)=\dfrac{U(s)}{E(s)}?