IE3036 - Sistemas de Control 1

2do ciclo, 2024

Lección 14: Diseño por emulación de controladores analógicos

Diseño a partir de la primera topología

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(s)
Y(s)
T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(s)
Y(s)

controlador

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(s)
Y(s)
\approx C(s)

controlador

Se está empleando la combinación ADC + \(C(z)\) + DAC para emular el comportamiento de \(C(s)\).

Procedimiento

  1. Se diseña un controlador \(C(s)\) adecuado que cumpla con las especificaciones, empleando técnicas de diseño analógicas.
  2. Se obtiene \(C(z)\) a partir de \(C(s)\) tal que la combinación ADC + \(C(z)\) + DAC controle a la planta lo más parecido posible a \(C(s)\).

Procedimiento

  1. Se diseña un controlador \(C(s)\) adecuado que cumpla con las especificaciones, empleando técnicas de diseño analógicas.
  2. Se obtiene \(C(z)\) a partir de \(C(s)\) tal que la combinación ADC + \(C(z)\) + DAC controle a la planta lo más parecido posible a \(C(s)\).

\(\to\) Equivalentes mediante aproximaciones numéricas.

\(\to\) Equivalentes mediante zero-pole matching (en las notas).

\(\to\) Equivalentes hold (ZOH).

Aproximaciones numéricas

C(z)=\displaystyle \left. C(s) \right\vert_{s=f(z)}
\ t
\ t
T
0
0
T

Aproximaciones numéricas

C(z)=\displaystyle \left. C(s) \right\vert_{s=f(z)}

Depende del tipo de aproximación numérica que se emplee.

\ t
\ t
T
0
0
T

Aproximaciones numéricas

C(z)=\displaystyle \left. C(s) \right\vert_{s=f(z)}
\ t
\ t
T
0
0
T
s=\dfrac{z-1}{T}

Forward Euler

Depende del tipo de aproximación numérica que se emplee.

Aproximaciones numéricas

C(z)=\displaystyle \left. C(s) \right\vert_{s=f(z)}
\ t
\ t
T
0
0
T
s=\dfrac{z-1}{T}
s=\dfrac{z-1}{Tz}

Forward Euler

Backward Euler

Depende del tipo de aproximación numérica que se emplee.

Aproximaciones numéricas

C(z)=\displaystyle \left. C(s) \right\vert_{s=f(z)}
\ t
T
0
s=\dfrac{2}{T}\dfrac{z-1}{z+1}
s=\dfrac{\Omega_0}{\tan(\Omega_0 T/2)} \dfrac{z-1}{z+1}

Transformación bilineal

Método de Tustin

Tustin con prewarping

Cz = c2d(Cs, T, 'tustin')

Depende del tipo de aproximación numérica que se emplee.

¿Cuál es la aproximación discreta de un controlador PI empleando Tustin?

Ejemplo

¿Cuál es la aproximación discreta de un controlador PI empleando Tustin?

Ejemplo

C(z)=\dfrac{(k_P+k_I T/2)+(k_I T/2-k_P)z^{-1}}{1-z^{-1}}

¿Cuál es la aproximación discreta de un controlador PI empleando Tustin?

Ejemplo

C(z)=\dfrac{(k_P+k_I T/2)+(k_I T/2-k_P)z^{-1}}{1-z^{-1}}

Este controlador funcionará adecuadamente siempre y cuando \(T\) sea lo suficientemente pequeño.

>> clase14_ejs_equivalentes.m

¿Aproximaciones numéricas?

Recordemos que

U^\star(s)=\mathcal{L}\left\{u^\star(t)\right\} \\ \equiv U(z)=\mathcal{Z}\left\{u(kT)\right\}=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)z^{-k}

Recordemos que

U^\star(s)=\mathcal{L}\left\{u^\star(t)\right\} \\ \equiv U(z)=\mathcal{Z}\left\{u(kT)\right\}=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)z^{-k}
z=e^{sT}

Recordemos que

U^\star(s)=\mathcal{L}\left\{u^\star(t)\right\} \\ \equiv U(z)=\mathcal{Z}\left\{u(kT)\right\}=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)z^{-k}
z=e^{sT}

¿Qué es esto?

\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\Omega_\mathrm{máx}
-\Omega_\mathrm{máx}

Consecuencia del teorema de muestreo y el criterio de Nyquist.

\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(z)
\Omega_\mathrm{máx}
-\Omega_\mathrm{máx}
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(z)
\Omega_\mathrm{máx}
-\Omega_\mathrm{máx}
z=e^{sT}

Mapeo entre planos \(s\) y \(z\)

Para sistemas discretos, el umbral de estabilidad cambia del eje imaginario al círculo unitario.

Para sistemas discretos el umbral de estabilidad cambia del eje imaginario al círculo unitario.

Ej: para (asintóticamente) estable se pasa de \(\mathrm{Re}(p_n)<0\) a \(|p_n|<1\) para todos los polos.

Es evidente que

z=e^{sT} \neq s=\dfrac{z-1}{T} \neq s=\dfrac{z-1}{Tz} \neq s=\dfrac{2}{T}\dfrac{z-1}{z+1}

Es evidente que

z=e^{sT} \neq s=\dfrac{z-1}{T} \neq s=\dfrac{z-1}{Tz} \neq s=\dfrac{2}{T}\dfrac{z-1}{z+1}

por lo que el uso de aproximaciones numéricas genera distorsiones en el mapeo entre el plano-\(s\) y el plano-\(z\), que pueden ocasionar problemas con la estabilidad del sistema.

\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)

forward Euler

discreto estable

\(\Rightarrow\) continuo estable

\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)

forward Euler

backward Euler

discreto estable

\(\Rightarrow\) continuo estable

continuo estable

\(\Rightarrow\) discreto estable

\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)

forward Euler

backward Euler

Tustin

discreto estable

\(\Rightarrow\) continuo estable

continuo estable

\(\Rightarrow\) discreto estable

continuo estable

\(\Leftrightarrow\) discreto estable

\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Re}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)
\mathrm{Im}(z)

forward Euler

backward Euler

Tustin

discreto estable

\(\Rightarrow\) continuo estable

continuo estable

\(\Rightarrow\) discreto estable

continuo estable

\(\Leftrightarrow\) discreto estable

Para evitar problemas, un rule of thumb es hacer \(T\) lo más pequeño que sea prácticamente posible.

Equivalentes hold

Equivalente ZOH

T
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H_1(z)
H_2(z)
\hat{u}(t)
y(t)

Equivalente ZOH

T
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H_1(z)
H_2(z)
u^\star(t) \\ U(z)
y^\star(t) \\ Y(z)
\hat{u}(t)
y(t)

Equivalente ZOH

T
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H_1(z)
H_2(z)
\equiv G(z)=\dfrac{Y(z)}{U(z)}
u^\star(t) \\ U(z)
y^\star(t) \\ Y(z)
\hat{u}(t)
y(t)

sistema discreto

Equivalente ZOH

T
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H_1(z)
H_2(z)
\equiv G(z)=\dfrac{Y(z)}{U(z)}
u^\star(t) \\ U(z)
y^\star(t) \\ Y(z)
\hat{u}(t)
y(t)

sistema discreto

El equivalente ZOH se comporta de forma equivalente al sistema continuo en los tiempos de muestreo.

Gs = tf(1, [1, 1, 1]);
T = 0.1;
Gzoh = c2d(Gs, T, 'zoh') 
Gtustin = c2d(Gs, T, 'tustin')
step(Gs, Gzoh, Gtustin)

>> clase14_ejs_equivalentes.m

Puede aplicarse mediante la fórmula

G(z)=\left(1-z^{-1}\right)\mathcal{Z}\left\{ \dfrac{G(s)}{s} \right\}

Puede aplicarse mediante la fórmula

G(z)=\left(1-z^{-1}\right)\mathcal{Z}\left\{ \dfrac{G(s)}{s} \right\}

Notación "extraña". Representa la transformada Z de la integral de la salida del sistema \(G(s)\), luego de ser muestreada.

Puede aplicarse mediante la fórmula

G(z)=\left(1-z^{-1}\right)\mathcal{Z}\left\{ \dfrac{G(s)}{s} \right\}
T
h(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{G(s)}{s} \right\}
h^\star(t)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(kT)\delta(t-kT)
\mathcal{Z}\left\{ h(kT)\right\}

puede encontrarse en tablas

Notación "extraña". Representa la transformada Z de la integral de la salida del sistema \(G(s)\), luego de ser muestreada.

Determine el equivalente ZOH del controlador PD

Ejemplo

C(s)=\dfrac{U(s)}{E(s)}=k_P+\dfrac{k_D s}{\tau s+1}

Determine el equivalente ZOH del controlador PD

Ejemplo

C(z)=k_P+\dfrac{k_D}{\tau}\dfrac{1-z^{-1}}{1-e^{-T/\tau}z^{-1}}
C(s)=\dfrac{U(s)}{E(s)}=k_P+\dfrac{k_D s}{\tau s+1}

>> clase14_ejs_equivalentes.m

Encuentre \(u^\star(t)\) para la transformada \(\mathcal{Z}\) dada, si se asume un \(T=1\).

Ejercicio 1

U(z)=\dfrac{1}{1-0.5z^{-1}}

Ejercicio 1

u^\star(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}e^{-0.6931k}\delta(t-k)

Encuentre \(u^\star(t)\) para la transformada \(\mathcal{Z}\) dada, si se asume un \(T=1\).

U(z)=\dfrac{1}{1-0.5z^{-1}}

Encuentre el control digital que emula el siguiente control analógico, si se emplea Backward Euler.

Ejercicio 2

C(s)=\dfrac{s+1}{s+2}

Encuentre el control digital que emula el siguiente control analógico, si se emplea Backward Euler.

Ejercicio 2

C(s)=\dfrac{s+1}{s+2}
C(z)=\dfrac{(1+T)-z^{-1}}{(1+2T)-z^{-1}}

Ejercicio 3

Igual que el ejercicio anterior, pero ahora empleando un equivalente ZOH.

Ejercicio 3

Igual que el ejercicio anterior, pero ahora empleando un equivalente ZOH.

C(z)=\dfrac{1-(1/2)(1+e^{-2T})z^{-1}}{1-(e^{-2T})z^{-1}}