IE3036 - Sistemas de Control 1

2do ciclo, 2024

Lección 13: Sistemas de datos muestreados

Sistemas de control y la revolución digital

¿Qué podemos digitalizar?

+
-
G(s)
C(s)
H(s)
R(s)
Y(s)
+
-
G(s)
C(s)
H(s)
R(s)
Y(s)

¿Qué podemos digitalizar?

\(\mu\)C

+
-
G(s)
C(s)
H(s)
R(s)
Y(s)

¿Qué podemos digitalizar?

\(\mu\)C

sensor digital

+
-
G(s)
C(s)
H(s)
R(s)
Y(s)

¿Qué podemos digitalizar?

\(\mu\)C

sensor digital

software

¿Qué podemos digitalizar?

+
-
G(s)
C(s)
H(s)
R(s)
Y(s)

\(\mu\)C

sensor digital

software

G(s)

Imposible reemplazar la planta por un equivalente digital.

Dos topologías para resolver este problema

+
-

ADC

ref.

control

DAC

planta

sensor

salida

Topología 1: sólo se digitaliza el control

+
-

ADC

ref.

control

DAC

planta

sensor

salida

Topología 1: sólo se digitaliza el control

microcontrolador | computadora

+
-

ADC

ref.

control

DAC

planta

sensor

salida

Topología 1: sólo se digitaliza el control

microcontrolador | computadora

Diseño indirecto de controladores digitales.

Topología 2: sólo la planta no se digitaliza

+
-

control

ref.

DAC

planta

sensor

salida

ADC

Topología 2: sólo la planta no se digitaliza

microcontrolador | computadora

+
-

control

ref.

DAC

planta

sensor

salida

ADC

Topología 2: sólo la planta no se digitaliza

microcontrolador | computadora

+
-

control

ref.

DAC

planta

sensor

salida

ADC

sensor digital

Topología 2: sólo la planta no se digitaliza

microcontrolador | computadora

Diseño directo de controladores digitales.

+
-

control

ref.

DAC

planta

sensor

salida

ADC

sensor digital

sólo esta queda continua

microcontrolador | computadora

diseño directo de controladores digitales

+
-

control

ref.

DAC

planta

sensor

salida

ADC

sensor digital

sólo esta queda continua

Sin importar la topología, no nos escapamos de tener que hacer un análisis mezclado: digital + analógico = sistemas de datos muestreados.

microcontrolador | computadora

diseño directo de controladores digitales

+
-

control

ref.

DAC

planta

sensor

salida

ADC

sensor digital

sólo esta queda continua

Sin importar la topología, no nos escapamos de tener que hacer un análisis mezclado: digital + analógico = sistemas de datos muestreados.

 

¿Cómo se logra? Matematizando al ADC y al DAC.

Matematizando al ADC

\ t
u(t)
\ t
u(t)
0
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT

muestreo

=\Delta t
\ t
u(t)
000
001
010
011
101
100
110
111
0
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT

muestreo

+ cuantificación

=\Delta t
\ t
u(t)
000
001
010
011
101
100
110
111
0
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT

muestreo

+ cuantificación

=\Delta t
\ t
u(t)
000
001
010
011
101
100
110
111
0
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT

muestreo

+ cuantificación

=\Delta t

Si ambas cuadrículas son finas entonces

digital \(\approx\) analógica.

\ t
u(t)
000
001
010
011
101
100
110
111
0
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT

muestreo

+ cuantificación

=\Delta t

compleja de modelar por su naturaleza estocástica

Muestreo ideal de señales continuas

\ t
u(t)
\times

Muestreo ideal de señales continuas

\ t
u(t)
p(t)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)
\ t
\cdots
\cdots
T
2T
3T
\cdots
-T
-2T
\times

Muestreo ideal de señales continuas

\ t
u(t)
p(t)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)
\ t
\cdots
\cdots
T
2T
3T
\cdots
-T
-2T
\times
u^\star(t)=u(t)p(t)

Muestreo ideal de señales continuas

\ t
u(t)
p(t)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)
\ t
\cdots
\cdots
T
2T
3T
\cdots
-T
-2T
\times
u^\star(t)=u(t)p(t)

Versión "digitalizada" de \(u(t)\)

\ t
u(t)
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT
p(t)
\ t
u(t)
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT
p(t)
\ t
u(t)
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT
p(t)
u^\star(t)=u(t)p(t)
=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)\delta(t-kT)
\ t
u(t)
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT
p(t)
u^\star(t)=u(t)p(t)
=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)\delta(t-kT)

esta es una señal discreta

u(kT)
u(0)
u(T)
u(2T)
u(3T)
\cdots
\ t
u(t)
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT
p(t)
u^\star(t)=u(t)p(t)
=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)\delta(t-kT)

esta es una señal discreta

u(kT)
u(0)
u(T)
u(2T)
u(3T)
\cdots

Esto se ve considerablemente complicado en el tiempo...

\ t
u(t)
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT
p(t)
u^\star(t)=u(t)p(t)
=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)\delta(t-kT)

esta es una señal discreta

u(kT)
u(0)
u(T)
u(2T)
u(3T)
\cdots

Esto se ve considerablemente complicado en el tiempo...

 

¿Cómo se verá en Laplace?

U^\star(s)=\mathcal{L}\left\{u^\star(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{ \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)\delta(t-kT) \right\} \\ =\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT) \mathcal{L}\left\{ \delta(t-kT) \right\}
U^\star(s)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)e^{-kTs}=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)z^{-k}
U^\star(s)=\mathcal{L}\left\{u^\star(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{ \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)\delta(t-kT) \right\} \\ =\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT) \mathcal{L}\left\{ \delta(t-kT) \right\}
U^\star(s)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)e^{-kTs}=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)z^{-k}
z=e^{sT}
U^\star(s)=\mathcal{L}\left\{u^\star(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{ \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)\delta(t-kT) \right\} \\ =\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT) \mathcal{L}\left\{ \delta(t-kT) \right\}
U^\star(s)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)e^{-kTs}=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)z^{-k}
U(z)=\mathcal{Z}\left\{ u(kT) \right\}=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)z^{-k}
U^\star(s)=\mathcal{L}\left\{u^\star(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{ \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)\delta(t-kT) \right\} \\ =\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT) \mathcal{L}\left\{ \delta(t-kT) \right\}
U^\star(s)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)e^{-kTs}=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(kT)z^{-k}

Esta es la transformada \(\mathcal{Z}\) de la señal discreta \(u(kT)\).

cuando \(z=e^{sT}\)

\mathcal{L}\left\{ u^\star(t) \right\}=U^\star(s)\equiv U(z)=\mathcal{Z}\left\{ u(kT) \right\}
u^\star(t)
y^\star(t)
G(z)
u^\star(t)
y^\star(t)
U(z)
Y(z)
Y(z)=G(z)U(z)
G(z)
u^\star(t)
y^\star(t)
U(z)
Y(z)
Y(z)=G(z)U(z)
G(z)=\dfrac{Y(z)}{U(z)}=\dfrac{b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Mz^{-M}}{1+a_1z^{-1}+\cdots+a_Nz^{-N}}

Función de transferencia del sistema discreto.

G(z)
u^\star(t)
y^\star(t)
U(z)
Y(z)
Y(z)=G(z)U(z)
G(z)=\dfrac{Y(z)}{U(z)}=\dfrac{b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Mz^{-M}}{1+a_1z^{-1}+\cdots+a_Nz^{-N}}

Función de transferencia del sistema discreto.

Aplica toda la teoría de procesamiento digital de señales.

G(z)
u^\star(t)
y^\star(t)
U(z)
Y(z)
Y(z)=G(z)U(z)
G(z)=\dfrac{Y(z)}{U(z)}=\dfrac{b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Mz^{-M}}{1+a_1z^{-1}+\cdots+a_Nz^{-N}}

Función de transferencia del sistema discreto.

Aplica toda la teoría de procesamiento digital de señales*.

 

* cuidado en las tablas por el cambio

\(n\to kT\)

Ejemplo

¿Cuál es la transformada \(\mathcal{Z}\) de \(u(t)=\sin(\omega_0 t)\) luego de ser muestreada con período \(T\)?

Ejemplo

¿Cuál es la transformada \(\mathcal{Z}\) de \(u(t)=\sin(\omega_0 t)\) luego de ser muestreada con período \(T\)?

u^\star(t)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sin(\omega_0 kT)\delta(t-kT) \\ U(z)=\mathcal{Z}\left\{\sin(\omega_0 kT)\right\}=\dfrac{z^{-1}\sin(\omega_0 T)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0 T)+z^{-2}}

Ejemplo

¿Cuál es la salida \(y^\star(t)\) del sistema discreto con función de transferencia  \(G(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\), si la entrada es \(u(t)=\mathbf{1}(t)\) luego de ser muestreada con período \(T\)?

Ejemplo

y^\star(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \left(2-0.5^k\right) \delta(t-kT)

¿Cuál es la salida \(y^\star(t)\) del sistema discreto con función de transferencia  \(G(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\), si la entrada es \(u(t)=\mathbf{1}(t)\) luego de ser muestreada con período \(T\)?

En conclusión

ADC

u(t)
u^\star(t)
U(s)
U(z)\equiv U^\star(s)
T
\equiv

Muestreador (sampler)

Matematizando al DAC

\ t
u(kT)
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT
\ t
u(kT)
T
2T
3T
4T
5T
\cdots
\cdots
kT

¿Cómo recuperamos a \(u(t)\)? \(\Rightarrow\) Interpolación

El zero-order hold

ZOH

G_{ZOH}(s)=\dfrac{\hat{U}(s)}{U^\star(s)}=\dfrac{1-e^{-sT}}{s}
\ t
u^\star(t)
\ t
\hat{u}(t) \approx u(t)

El zero-order hold

ZOH

Pérdida de información inherente a la digitalización.

G_{ZOH}(s)=\dfrac{\hat{U}(s)}{U^\star(s)}=\dfrac{1-e^{-sT}}{s}
\ t
u^\star(t)
\ t
\hat{u}(t) \approx u(t)
z^{-1}

delay

En conclusión

DAC

u^\star(t)
\hat{u}(t)\approx u(t)
U(z)
\hat{U}(s)
\equiv

zero-order hold (ZOH)

\dfrac{1-z^{-1}}{s}

Regresando a las dos topologías de control digital

Topología 1: diseño indirecto

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(s)
Y(s)

Topología 1: diseño indirecto

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(s)
Y(s)
\approx C(s)

Topología 1: diseño indirecto

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(s)
Y(s)
\approx C(s)
E(s)

señal de tiempo continuo

U(s)

señal de tiempo continuo

Topología 1: diseño indirecto

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(s)
Y(s)
\approx C(s)
E(s)

señal de tiempo continuo

sistema de tiempo continuo

U(s)

señal de tiempo continuo

Topología 1: diseño indirecto

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(s)
Y(s)
\approx C(s)
E(s)

señal de tiempo continuo

sistema de tiempo continuo

U(s)

señal de tiempo continuo

Diseño por emulación discreta de controladores analógicos.

Topología 2: diseño directo

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)

Topología 2: diseño directo

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)

muestreador ficticio

Topología 2: diseño directo

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)
\equiv G(z)

Topología 2: diseño directo

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)
\equiv G(z)
W(z)

señal de tiempo discreto

Y(z)

señal de tiempo discreto

Topología 2: diseño directo

T
C(z)
\dfrac{1-z^{-1}}{s}
G(s)
H(s)
+
-
R(z)
Y(s)
T
Y(z)
\equiv G(z)
W(z)

señal de tiempo discreto

Y(z)

señal de tiempo discreto

sistema de tiempo discreto

Álgebra de bloques con muestreadores